Derive a função.
y=\ln \frac{x^{a}}{b^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função \,y = \ln\frac{x^{a}}{b^{x}}. O conteúdo é derivada de logaritmo, e vamos usar propriedades do \ln para simplificar antes de aplicar a regra da derivada.

Passo 2

Aplicamos as identidades \ln\frac{u}{v} = \ln u - \ln v, \ln(x^{a}) = a\,\ln x e \ln(b^{x}) = x\,\ln b.
Logo,
y = \ln\frac{x^{a}}{b^{x}} = a\,\ln x \;-\; x\,\ln b.

Passo 3

Derivando termo a termo:
– A derivada de a\,\ln x é a\cdot\frac{1}{x}.
– A derivada de -\,x\,\ln b é -\,\ln b.
Portanto,
\frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} \;-\; \ln b.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{a}{x} - \ln b.

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