Derive a função:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é composta por duas parcelas: uma raiz cúbica de
e uma função linear . - O objetivo é achar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Primeiro passo técnico: reescrever a raiz cúbica como potência, porque isso facilita a derivação com a regra de potência. Lembre-se que
Portanto podemos escrever
Passo 3
Vou lembrar a regra que vou usar (com explicação curta e direta):
- Regra de potência: para qualquer real
, a derivada de (em pontos onde a expressão faz sentido) é
Aqui
é a variável independente e
é o expoente. Exemplo simples:
obtido com
.
- A derivada de
é : . - A derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas.
Passo 4
Aplicando a regra de potência termo a termo:
- Para
, com ,
- Para
,
Somando as derivadas das parcelas, obtemos
Passo 5
Deixar a resposta em formas equivalentes e discutir domínio:
- Reescrevendo
como fração,
Então outra forma útil é
- Se quiser juntar em uma única fração (válido apenas para
),
- Observação importante sobre
: a expressão envolve no denominador quando escrita como fração, e o limite do quociente diferencial em tende a infinito. Assim, a derivada não existe em . Em termos práticos: está definida para todo e não existe em .
Passo 6
Exemplo rápido para fixar (pra usar na prova, faça assim): se precisar do valor da derivada em
,
Como
então
. Logo
Resposta
A derivada não existe em
.