Derive a função:
S(t)=\sqrt[3]{t}-t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
S(t)=\sqrt[3]{t}-t.
Informações dadas:
  • A função é composta por duas parcelas: uma raiz cúbica de t e uma função linear -t.
  • O objetivo é achar S'(t), a derivada de S em função de t.

Passo 2

Primeiro passo técnico: reescrever a raiz cúbica como potência, porque isso facilita a derivação com a regra de potência. Lembre-se que
\sqrt[3]{t}=t^{1/3}.
Portanto podemos escrever
S(t)=t^{1/3}-t.

Passo 3

Vou lembrar a regra que vou usar (com explicação curta e direta):
  • Regra de potência: para qualquer real n, a derivada de t^{n} (em pontos onde a expressão faz sentido) é
\frac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{n-1}.
Aqui t é a variável independente e n é o expoente. Exemplo simples: \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t obtido com n=2.
  • A derivada de t é 1: \dfrac{d}{dt}(t)=1.
  • A derivada de uma soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas.

Passo 4

Aplicando a regra de potência termo a termo:
  • Para t^{1/3}, com n=1/3,
\frac{d}{dt}\bigl(t^{1/3}\bigr)=\frac{1}{3}\,t^{1/3-1}=\frac{1}{3}\,t^{-2/3}.
  • Para -t,
\frac{d}{dt}(-t)=-1.
Somando as derivadas das parcelas, obtemos
S'(t)=\frac{1}{3}\,t^{-2/3}-1.

Passo 5

Deixar a resposta em formas equivalentes e discutir domínio:
  • Reescrevendo t^{-2/3} como fração,
t^{-2/3}=\frac{1}{t^{2/3}}=\frac{1}{\bigl(\sqrt[3]{t}\bigr)^{2}}.
Então outra forma útil é
S'(t)=\frac{1}{3\,t^{2/3}}-1.
  • Se quiser juntar em uma única fração (válido apenas para t\neq0),
S'(t)=\frac{1-3\,t^{2/3}}{3\,t^{2/3}}.
  • Observação importante sobre t=0: a expressão \frac{1}{3}t^{-2/3} envolve t no denominador quando escrita como fração, e o limite do quociente diferencial em t=0 tende a infinito. Assim, a derivada não existe em t=0. Em termos práticos: S'(t) está definida para todo t\neq0 e não existe em t=0.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar (pra usar na prova, faça assim): se precisar do valor da derivada em t=8,
S'(8)=\frac{1}{3}\cdot 8^{-2/3}-1.
Como 8^{1/3}=2 então 8^{-2/3}=2^{-2}=\tfrac{1}{4}. Logo
S'(8)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}-1=\frac{1}{12}-1=-\frac{11}{12}.

Resposta

S'(t)=\frac{1}{3}\,t^{-2/3}-1,\quad t\neq0
A derivada não existe em t=0.

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