Derive a função.
h(x)=x^{2+4 x}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
h(x)=x^{2+4x}.
O conteúdo principal aqui é derivar uma função em que a variável aparece tanto na base quanto no expoente, o que fazemos usando derivação logarítmica.

Passo 2

Seja y=h(x). Tomamos logaritmo natural dos dois lados:
\ln y = \ln\bigl(x^{2+4x}\bigr) = (2+4x)\,\ln x.

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo,
\frac{d}{dx}\ln y = \frac{y'}{y}.
Do lado direito, aplicamos a regra do produto em (2+4x)\ln x:
\frac{d}{dx}\bigl[(2+4x)\ln x\bigr] = (2+4x)' \,\ln x \;+\;(2+4x)\,\frac{d}{dx}\ln x = 4\ln x + (2+4x)\,\frac1x.
Logo,
\frac{y'}{y} = 4\ln x + \frac{2+4x}{x}.

Passo 4

Reescrevendo \frac{2+4x}{x} = \frac{2}{x}+4, temos
\frac{y'}{y} = 4\ln x +4 + \frac{2}{x}.
Multiplicando por y, obtemos
y' = y\Bigl(4\ln x +4 + \tfrac{2}{x}\Bigr).
Como y = x^{2+4x}, concluímos a derivada de h.

Resposta

h'(x) = x^{2+4x}\Bigl(4\ln x +4 + \tfrac{2}{x}\Bigr).

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