Derive a função.
y=\ln \left(e^{-x}+x e^{-y}\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
y = \ln\bigl(e^{-x} + x\,e^{-y}\bigr)
e pede \dfrac{dy}{dx}. Vamos usar diferenciação implícita, a regra da cadeia e a derivada de \ln(u), que é \dfrac{u'}{u}.

Passo 2

Seja
u = e^{-x} + x\,e^{-y}.
Diferenciando y = \ln(u) em relação a x temos
y' = \frac{u'}{u}.
Agora calculamos u':
u' = \frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(x\,e^{-y}\bigr) = -e^{-x} + \bigl(1\cdot e^{-y} + x\cdot(-e^{-y}y')\bigr) = -e^{-x} + e^{-y} - x\,e^{-y}y'.

Passo 3

Substituindo u e u' em y' = \dfrac{u'}{u}, vem
y' = \frac{-e^{-x} + e^{-y} - x\,e^{-y}y'}{e^{-x} + x\,e^{-y}}.
Multiplicando ambos os lados por e^{-x}+x\,e^{-y}:
y'\,(e^{-x} + x\,e^{-y}) = -e^{-x} + e^{-y} - x\,e^{-y}y'.
Passando o termo com y' para o lado esquerdo:
y'\,(e^{-x} + x\,e^{-y}) + x\,e^{-y}y' = -e^{-x} + e^{-y},
isto é
y'\bigl(e^{-x} + 2x\,e^{-y}\bigr) = -e^{-x} + e^{-y}.
Logo
y' = \frac{-e^{-x} + e^{-y}}{e^{-x} + 2x\,e^{-y}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{e^{-y} - e^{-x}}{\,e^{-x} + 2x\,e^{-y}\,}.

Exercícios relacionados