Derive a função
(x) H(z)=\ln \sqrt{\frac{4-z^{2}}{4+z^{2}}}

Passo 1

O enunciado dá a função
H(z)=\ln\sqrt{\frac{4-z^{2}}{4+z^{2}}}
e pede a derivada H'(z). Informações importantes fornecidas:
  • A expressão matemática da função está acima.
  • A função só está definida (no conjunto dos números reais) quando o argumento do log e da raiz é positivo; aqui isso acontece quando 4-z^{2}>0, ou seja |z|<2. Portanto a derivada que vamos obter é válida para |z|<2.
  • Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Primeiro simplificamos a escrita usando propriedades de logaritmo e potência. Lembra daquela regra bacana:
\ln(\sqrt{u})=\ln(u^{1/2})=\tfrac{1}{2}\ln(u),
onde u é uma função de z. Aplicando com u=\dfrac{4-z^{2}}{4+z^{2}} obtemos
H(z)=\tfrac{1}{2}\ln\!\left(\frac{4-z^{2}}{4+z^{2}}\right).
Outra propriedade útil do log é \ln\!\left(\dfrac{A}{B}\right)=\ln A-\ln B. Usando isso:
H(z)=\tfrac{1}{2}\bigl(\ln(4-z^{2})-\ln(4+z^{2})\bigr).
Expliquei essas transformações porque elas tornam a derivação muito mais direta: derivamos cada \ln separadamente.

Passo 3

Agora usamos duas regras de diferenciação que você precisa lembrar bem:
  1. Derivada do log: se f(z)=\ln(g(z)) então f'(z)=\dfrac{g'(z)}{g(z)}. Aqui g(z) é a função dentro do log.
  2. Regra da cadeia: ao derivar \ln(g(z)) primeiro derivamos a função externa \ln e depois multiplicamos pela derivada da interna g'(z).
Aplicando a essas funções:
  • Para \ln(4-z^{2}): a função interna é g(z)=4-z^{2} e g'(z)=-2z. Logo
\frac{d}{dz}\ln(4-z^{2})=\frac{-2z}{4-z^{2}}.
  • Para \ln(4+z^{2}): a interna é h(z)=4+z^{2} e h'(z)=2z. Logo
\frac{d}{dz}\ln(4+z^{2})=\frac{2z}{4+z^{2}}.

Passo 4

Voltando a H(z)=\tfrac{1}{2}\bigl(\ln(4-z^{2})-\ln(4+z^{2})\bigr) e derivando termo a termo:
H'(z)=\tfrac{1}{2}\left(\frac{-2z}{4-z^{2}}-\frac{2z}{4+z^{2}}\right).
Agora simplificamos o fator \tfrac{1}{2} com os 2 do numerador:
H'(z)=-\frac{z}{4-z^{2}}-\frac{z}{4+z^{2}}.

Passo 5

Vamos juntar as duas frações numa só para simplificar ainda mais. O denominador comum é (4-z^{2})(4+z^{2}). Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
H'(z)=\frac{-z(4+z^{2})-z(4-z^{2})}{(4-z^{2})(4+z^{2})}.
Calculamos o numerador com calma:
-z(4+z^{2})-z(4-z^{2})=-4z-z^{3}-4z+z^{3}=-8z,
os termos em z^{3} se cancelaram, muito bom. E o denominador multiplica-se como diferença de quadrados:
(4-z^{2})(4+z^{2})=4^{2}- (z^{2})^{2}=16-z^{4}.

Passo 6

Substituindo numerador e denominador simplificados, obtemos a forma final da derivada:
H'(z)=\frac{-8z}{16-z^{4}}.
Se preferir, pode factorar o sinal:
H'(z)=\frac{8z}{z^{4}-16}.
Lembre-se: essa expressão vale para |z|<2, que é o domínio onde H está definida como função real.

Resposta

H'(z)=\frac{-8z}{16-z^{4}}

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