Derive a função
(x)
(x)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
. Informações importantes fornecidas:
- A expressão matemática da função está acima.
- A função só está definida (no conjunto dos números reais) quando o argumento do log e da raiz é positivo; aqui isso acontece quando
, ou seja . Portanto a derivada que vamos obter é válida para . - Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Primeiro simplificamos a escrita usando propriedades de logaritmo e potência. Lembra daquela regra bacana:
onde
é uma função de
. Aplicando com
obtemos
Outra propriedade útil do log é
. Usando isso:
Expliquei essas transformações porque elas tornam a derivação muito mais direta: derivamos cada
separadamente.
Passo 3
Agora usamos duas regras de diferenciação que você precisa lembrar bem:
- Derivada do log: se
então . Aqui é a função dentro do log. - Regra da cadeia: ao derivar
primeiro derivamos a função externa e depois multiplicamos pela derivada da interna .
Aplicando a essas funções:
- Para
: a função interna é e . Logo
- Para
: a interna é e . Logo
Passo 4
Voltando a
e derivando termo a termo:
Agora simplificamos o fator
com os
do numerador:
Passo 5
Vamos juntar as duas frações numa só para simplificar ainda mais. O denominador comum é
. Colocando tudo sobre o mesmo denominador:
Calculamos o numerador com calma:
os termos em
se cancelaram, muito bom. E o denominador multiplica-se como diferença de quadrados:
Passo 6
Substituindo numerador e denominador simplificados, obtemos a forma final da derivada:
Se preferir, pode factorar o sinal:
Lembre-se: essa expressão vale para
, que é o domínio onde
está definida como função real.