Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôpital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de L’Hôpital não se aplicar, explique o porquê.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O numerador é a expressão
. - O denominador é a expressão
. - O ponto onde a variável se aproxima é
.
Não vamos resolver nada ainda; apenas identificamos claramente o que é pedido e as partes da expressão.
Passo 2
Teste de substituição direta (método mais simples quando possível). Calculamos o numerador e o denominador em
:
Portanto, ao substituir diretamente, obtemos a forma
. Essa forma não é indeterminada — é simplesmente
dividido por
. Para funções racionais (quociente de polinômios), quando o denominador no ponto é diferente de zero, a função é contínua nesse ponto e o limite é o valor obtido por substituição direta. Logo, por substituição direta temos que o limite vale
.
Explicação didática: continuação por substituição
- Uma função racional
(com polinômios) é contínua em qualquer ponto onde . - Continuidade significa que
se . - Aqui
, então o limite é .
Passo 3
Solução alternativa por simplificação algébrica (útil quando a substituição direta dá forma indeterminada — aqui serve como verificação):
Fatoramos o numerador usando identidade de diferença de quadrados:
Fatoramos o numerador usando identidade de diferença de quadrados:
Substituímos na expressão original:
Para
podemos cancelar o fator
, ficando
Como estamos calculando o limite quando
(e
), podemos usar a função simplificada
. Então
Essa via confirma o resultado obtido por substituição direta.
Passo 4
Discussão sobre a Regra de L’Hôpital e por que ela não se aplica aqui:
- A Regra de L’Hôpital diz: se
e (ou se ambos tendem a ), e são diferenciáveis num intervalo ao redor de (exceto possivelmente em ), então
se o limite à direita existir ou for
.
- Em palavras simples: L’Hôpital só é aplicável quando temos uma forma indeterminada do tipo
ou .
No nosso caso, ao fazer substituição direta obtemos, que não é indeterminado; é igual a . Portanto a hipótese necessária para aplicar L’Hôpital não está satisfeita, e não devemos usá-la. - Observação pedagogicamente importante: aplicar L’Hôpital sem a forma indeterminada pode levar a resultados errados. Por exemplo, as derivadas seriam
e , e , que é diferente de . Isso mostra que aplicar L’Hôpital fora das hipóteses é incorreto.
Passo 5
Resumo e reforço:
- A maneira mais direta foi a substituição, pois o denominador em
não é zero. - A simplificação algébrica por fatoração confirma o resultado.
- A Regra de L’Hôpital não se aplica porque não houve forma indeterminada.
- Resultado final: o limite é
.