Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôpital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de L’Hôpital não se aplicar, explique o porquê.
(a) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{x+1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O numerador é a expressão \;x^{2}-1\;.
  • O denominador é a expressão \;x+1\;.
  • O ponto onde a variável se aproxima é x=1.
    Não vamos resolver nada ainda; apenas identificamos claramente o que é pedido e as partes da expressão.

Passo 2

Teste de substituição direta (método mais simples quando possível). Calculamos o numerador e o denominador em x=1:
\text{numerador em }1: \;1^{2}-1=0,
\text{denominador em }1: \;1+1=2.
Portanto, ao substituir diretamente, obtemos a forma \dfrac{0}{2}. Essa forma não é indeterminada — é simplesmente 0 dividido por 2. Para funções racionais (quociente de polinômios), quando o denominador no ponto é diferente de zero, a função é contínua nesse ponto e o limite é o valor obtido por substituição direta. Logo, por substituição direta temos que o limite vale 0.
Explicação didática: continuação por substituição
  • Uma função racional \dfrac{p(x)}{q(x)} (com p,q polinômios) é contínua em qualquer ponto onde q(x)\neq 0.
  • Continuidade significa que \lim_{x\to a} \dfrac{p(x)}{q(x)} = \dfrac{p(a)}{q(a)} se q(a)\neq 0.
  • Aqui q(1)=2\neq 0, então o limite é \dfrac{p(1)}{q(1)}=\dfrac{0}{2}=0.

Passo 3

Solução alternativa por simplificação algébrica (útil quando a substituição direta dá forma indeterminada — aqui serve como verificação):
Fatoramos o numerador usando identidade de diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Substituímos na expressão original:
\frac{x^{2}-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}.
Para x\neq -1 podemos cancelar o fator (x+1), ficando
\frac{x^{2}-1}{x+1}=x-1\quad\text{(para }x\neq -1\text{)}.
Como estamos calculando o limite quando x\to 1 (e 1\neq -1), podemos usar a função simplificada x-1. Então
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{x+1}=\lim_{x\to 1}(x-1)=1-1=0.
Essa via confirma o resultado obtido por substituição direta.

Passo 4

Discussão sobre a Regra de L’Hôpital e por que ela não se aplica aqui:
  • A Regra de L’Hôpital diz: se \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=0 e \displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=0 (ou se ambos tendem a \pm\infty), e f,g são diferenciáveis num intervalo ao redor de a (exceto possivelmente em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
se o limite à direita existir ou for \pm\infty.
  • Em palavras simples: L’Hôpital só é aplicável quando temos uma forma indeterminada do tipo \frac{0}{0} ou \frac{\infty}{\infty}.
    No nosso caso, ao fazer substituição direta obtemos \dfrac{0}{2}, que não é indeterminado; é igual a 0. Portanto a hipótese necessária para aplicar L’Hôpital não está satisfeita, e não devemos usá-la.
  • Observação pedagogicamente importante: aplicar L’Hôpital sem a forma indeterminada pode levar a resultados errados. Por exemplo, as derivadas seriam f'(x)=2x e g'(x)=1, e \lim_{x\to 1}\dfrac{2x}{1}=2, que é diferente de 0. Isso mostra que aplicar L’Hôpital fora das hipóteses é incorreto.

Passo 5

Resumo e reforço:
  • A maneira mais direta foi a substituição, pois o denominador em x=1 não é zero.
  • A simplificação algébrica por fatoração confirma o resultado.
  • A Regra de L’Hôpital não se aplica porque não houve forma indeterminada.
  • Resultado final: o limite é 0.

Resposta

0

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