Inverta a ordem de integração.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com integrais duplas. Para isso, vamos precisar entender como mudar os limites de integração para que possamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração originais. A integral dada é:
Aqui,
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de
até
.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos redesenhar a região de integração no plano
. Vamos visualizar os limites:
-
está entre 0 e 1. -
está entre e .
Isso forma uma região onde
varia de
até
para cada
entre 0 e 1.
Passo 4
Agora, vamos determinar os novos limites para
e
:
-
Determinar os limites de
: - Quando
, varia de 0 a 3. - Quando
, varia de 1 a 4. - Portanto,
varia de 0 a 4.
- Quando
-
Determinar os limites de
para cada intervalo de : - Para
entre 0 e 3: -
começa em 0 e vai até (porque ).
-
- Para
entre 3 e 4: -
começa em e vai até 1 (porque ).
-
- Para
Passo 5
Com esses novos limites, podemos reescrever a integral invertida dividida em duas partes:
Resposta
A ordem de integração invertida fica: