Derive a função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para derivá‑la em relação a
.
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
Objetivo: encontrar
.
Passo 2
Escolha do método: vou usar diferenciação logarítmica. Por quê? Porque a variável
aparece tanto na base (em
) quanto no expoente (em
), e tomar logaritmo natural simplifica produtos/quotients e potências transformando potências em fatores lineares, o que torna a derivação muito mais simples do que aplicar regras de quociente direto. Alternativa: usar regra do quociente combinada com a derivada de
(que é
), mas isso dá contas mais pesadas. Vou usar a log‑diferenciação e explicar cada passo.
Passo 3
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados. Usamos as propriedades:
Aplicando em
:
Aqui usei que
e
. Lembrete:
é uma constante porque
é constante.
Passo 4
Agora diferenciamos implicitamente ambos os lados em relação a
. Lembrete das regras que usamos:
- Derivada de
em relação a (regra da cadeia): . - Derivada de
é . - Derivada de
é (pois é constante e ).
Derivando:
Passo 5
Isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Agora substituímos de volta
:
Passo 6
Podemos reescrever a resposta de forma ligeiramente mais simplificada se preferir:
As duas formas acima são equivalentes; escolha a que você achar mais clara na hora da prova.