Derive a função
y=\frac{x^{a}}{b^{x}}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\frac{x^{a}}{b^{x}}
e pede para derivá‑la em relação a x.
Informações dadas que vamos usar:
\text{a) }a\text{ e }b\text{ são constantes;}ã
\text{b) }x\text{ é a variável (assumiremos }x>0\text{ quando for preciso usar logaritmo natural).}éá
Objetivo: encontrar \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Escolha do método: vou usar diferenciação logarítmica. Por quê? Porque a variável x aparece tanto na base (em x^{a}) quanto no expoente (em b^{x}), e tomar logaritmo natural simplifica produtos/quotients e potências transformando potências em fatores lineares, o que torna a derivação muito mais simples do que aplicar regras de quociente direto. Alternativa: usar regra do quociente combinada com a derivada de b^{x} (que é b^{x}\ln b), mas isso dá contas mais pesadas. Vou usar a log‑diferenciação e explicar cada passo.

Passo 3

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados. Usamos as propriedades:
\ln\!\left(\frac{U}{V}\right)=\ln U-\ln V, \qquad \ln(U^{k})=k\ln U.
Aplicando em y:
\ln y = \ln\!\big(x^{a}\big)-\ln\!\big(b^{x}\big)=a\ln x - x\ln b.
Aqui usei que \ln(x^{a})=a\ln x e \ln(b^{x})=x\ln b. Lembrete: \ln b é uma constante porque b é constante.

Passo 4

Agora diferenciamos implicitamente ambos os lados em relação a x. Lembrete das regras que usamos:
  • Derivada de \ln y em relação a x (regra da cadeia): \dfrac{d}{dx}\ln y = \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'}{y}.
  • Derivada de \ln x é \dfrac{1}{x}.
  • Derivada de x\ln b é \ln b (pois \ln b é constante e \dfrac{d}{dx}x=1).
Derivando:
\frac{y'}{y} = \frac{a}{x} - \ln b.

Passo 5

Isolamos y' multiplicando ambos os lados por y:
y' = y\!\left(\frac{a}{x}-\ln b\right).
Agora substituímos de volta y=\dfrac{x^{a}}{b^{x}}:
y' = \frac{x^{a}}{b^{x}}\!\left(\frac{a}{x}-\ln b\right).

Passo 6

Podemos reescrever a resposta de forma ligeiramente mais simplificada se preferir:
y'=\frac{x^{a-1}}{b^{x}}\big(a - x\ln b\big).
As duas formas acima são equivalentes; escolha a que você achar mais clara na hora da prova.

Resposta

y'=\frac{x^{a}}{b^{x}}\left(\frac{a}{x}-\ln b\right)

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