Encontre a derivada da função.
f(x)=\sin x \cos \left(1-x^{2}\right)

Passo 1

Temos a função f(x)=\sin x\;\cos\left(1-x^{2}\right). O que o enunciado pede é: encontrar a derivada f'(x), ou seja, a taxa de variação dessa função em relação a x.

Passo 2

Para derivar essa função vamos usar duas regras importantes (vou explicá-las devagarinho, como um colega te explicando na prova):
Regra do produto — se u(x) e v(x) são funções, a derivada de u(x)\,v(x) é
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui u'(x) é a derivada de u e v'(x) é a derivada de v.
Regra da cadeia — se g é uma função e h(x) é outra função, a derivada de g(h(x)) é
\frac{d}{dx}g(h(x))=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Ou seja, deriva-se primeiro g em relação a seu argumento e multiplica pelo derivado do argumento h(x).
Derivadas básicas de trigonometria — duas informações que usamos direto:
\frac{d}{dx}\sin x=\cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.

Passo 3

Identificamos as partes para aplicar a regra do produto. Tome
u(x)=\sin x, \qquad v(x)=\cos\left(1-x^{2}\right).
Agora calculamos u'(x) e v'(x).
Para u(x)=\sin x temos, pela derivada básica,
u'(x)=\cos x.

Passo 4

Para v(x)=\cos\big(1-x^{2}\big) aplicamos a regra da cadeia. Primeiro note que v é g(h(x)) com g(t)=\cos t e h(x)=1-x^{2}.
Derivada de g em t é g'(t)=-\sin t. Derivada de h(x)=1-x^{2} é
h'(x)=\frac{d}{dx}\big(1-x^{2}\big)=-2x.
Aplicando a regra da cadeia:
v'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x)=-\sin\big(1-x^{2}\big)\cdot(-2x).
Os dois sinais negativos se cancelam, então
v'(x)=2x\sin\big(1-x^{2}\big).

Passo 5

Agora juntamos tudo pela regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v' que encontramos:
f'(x)=\cos x\cdot\cos\big(1-x^{2}\big)+\sin x\cdot\big(2x\sin\big(1-x^{2}\big)\big).
Organizando:
f'(x)=\cos x\cos\big(1-x^{2}\big)+2x\sin x\sin\big(1-x^{2}\big).
Dica rápida para a prova: faça sempre em ordem — identifique u e v, calcule u' e v' separadamente (no v' aplique a cadeia devagar: deriva g, multiplica por h') — depois some u'v+uv'. É padronizado e evita erros de sinal.

Resposta

f'(x)=\cos x\cos\big(1-x^{2}\big)+2x\sin x\sin\big(1-x^{2}\big)

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