Encontre a derivada da função.
Passo 1
Temos a função
. O que o enunciado pede é: encontrar a derivada
, ou seja, a taxa de variação dessa função em relação a
.
Passo 2
Para derivar essa função vamos usar duas regras importantes (vou explicá-las devagarinho, como um colega te explicando na prova):
Regra do produto — se
e
são funções, a derivada de
é
Aqui
é a derivada de
e
é a derivada de
.
Regra da cadeia — se
é uma função e
é outra função, a derivada de
é
Ou seja, deriva-se primeiro
em relação a seu argumento e multiplica pelo derivado do argumento
.
Derivadas básicas de trigonometria — duas informações que usamos direto:
Passo 3
Identificamos as partes para aplicar a regra do produto. Tome
Agora calculamos
e
.
Para
temos, pela derivada básica,
Passo 4
Para
aplicamos a regra da cadeia. Primeiro note que
é
com
e
.
Derivada de
em
é
. Derivada de
é
Aplicando a regra da cadeia:
Os dois sinais negativos se cancelam, então
Passo 5
Agora juntamos tudo pela regra do produto:
Substituindo
que encontramos:
Organizando:
Dica rápida para a prova: faça sempre em ordem — identifique
e
, calcule
e
separadamente (no
aplique a cadeia devagar: deriva
, multiplica por
) — depois some
. É padronizado e evita erros de sinal.