O raio da circunferência circunscrita a um triângulo é R. Num triângulo com lado \mathrm{a}=20 \mathrm{~m} e ângulo oposto \hat{A}=60^{\circ}, calcule R.
a) 5 m
b) 20 / \sqrt{3} \mathrm{~m}
c) 21 / \sqrt{3} \mathrm{~m}
d) 25 / \sqrt{ } 3 \mathrm{~m}
e) 40 m

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo qualquer com lado \mathrm{a}=20 m e o ângulo oposto \hat{A}=60^\circ. Pede-se o raio R da circunferência circunscrita. Para resolver, vamos usar a Lei dos Senos e a relação com o raio do circuncírculo.

Passo 2

A Lei dos Senos estabelece que em qualquer triângulo
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R
onde R é o raio da circunferência circunscrita. Dessa igualdade, isolamos R:
2R=\frac{a}{\sin A} \quad\Longrightarrow\quad R=\frac{a}{2\sin A}.

Passo 3

Substituímos a=20 m e \sin A=\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2} na fórmula:
R=\frac{20}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}} =\frac{20}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Racionalizando, opcionalmente:
R=\frac{20}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} =\frac{20\sqrt{3}}{3}\text{ m},
mas a forma \tfrac{20}{\sqrt{3}} já corresponde a uma das alternativas.

Resposta

b) \displaystyle \frac{20}{\sqrt{3}} m

Exercícios relacionados