derive as funcates:
f(t)=(t^2+1)^3(2 t^2+5 t-3)^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função como produto de duas funções e usar cadeia para cada parte.

Passo 2

Seja u(t)=(t^2+1)^3 e . Pela regra do produto temos (f’(t)=u’(t),v(t)+u(t),v’(t).

Passo 3

Para derivar u(t)=(t^2+1)^3 usamos a regra da cadeia: a derivada de g(h)=h^3 é 3h^2 vezes h'. Aqui h(t)=t^2+1 tem h'(t)=2t. Logo
u'(t)=3(t^2+1)^2cdot(2t)=6t,(t^2+1)^2

Passo 4

Para derivar v(t)=(2t^2+5t-3)^2 também aplicamos cadeia: a derivada de k(m)=m^2 é 2m vezes m'. Com m(t)=2t^2+5t-3 e m'(t)=4t+5, temos
v'(t)=2(2t^2+5t-3)cdot(4t+5)

Passo 5

Substituindo em f'(t)=u'v+uv' obtemos:
f'(t)=l(6t,(t^2+1)^2r),(2t^2+5t-3)^2 + (t^2+1)^3cdot2(2t^2+5t-3)(4t+5)

Passo 6

Para simplificar, fatoramos 2(t^2+1)^2(2t^2+5t-3):
f'(t)=2(t^2+1)^2(2t^2+5t-3)l[3t(2t^2+5t-3)+(t^2+1)(4t+5)r]

Passo 7

Dentro do colchete, desenvolvendo:
3t(2t^2+5t-3)=6t^3+15t^2-9t,
(t^2+1)(4t+5)=4t^3+5t^2+4t+5,
soma: 10t^3+20t^2-5t+5=5(2t^3+4t^2-t+1).

Passo 8

Finalmente:
f'(t)=10,(t^2+1)^2,(2t^2+5t-3),(2t^3+4t^2-t+1)

Resposta

f'(t)=10,(t^2+1)^2,(2t^2+5t-3),(2t^3+4t^2-t+1)

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