Derive as funções
f(x)=(2 x^2-4 x+1) cdot(6 x+5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de derivada da função f(x) = (2x^2 - 4x + 1) cdot (6x + 5) . Aqui, estamos lidando com derivadas, especificamente aplicando a regra do produto para derivar funções que são o produto de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
  • u(x) = 2x^2 - 4x + 1
  • v(x) = 6x + 5
Para derivar f(x) = u(x) cdot v(x) , usamos a regra do produto, que diz:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de u(x) e v(x) :
  • Derivada de u(x) :
u'(x) = ddx(2x^2) - ddx(4x) + ddx(1) = 4x - 4 + 0 = 4x - 4
  • Derivada de v(x) :
v'(x) = ddx(6x) + ddx(5) = 6 + 0 = 6

Passo 4

Substituindo as derivadas encontradas na regra do produto:
f'(x) = (4x - 4) cdot (6x + 5) + (2x^2 - 4x + 1) cdot 6

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
Primeiro, multiplicamos (4x - 4) por (6x + 5) :
(4x - 4)(6x + 5) = 24x^2 + 20x - 24x - 20 = 24x^2 - 4x - 20
Depois, multiplicamos (2x^2 - 4x + 1) por 6:
6(2x^2 - 4x + 1) = 12x^2 - 24x + 6
Agora, somamos as duas partes:
24x^2 - 4x - 20 + 12x^2 - 24x + 6 = (24x^2 + 12x^2) + (-4x - 24x) + (-20 + 6) = 36x^2 - 28x - 14

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 36x^2 - 28x - 14

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