Um fazendeiro deseja cercar um pasto retangular, de dimensões e . Quais as dimensões do pasto para que o comprimento de cerca utilizado para limitar as regiões seja mínimo, sabendo que o pasto deverá ter área igual a ?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as dimensões e de um retângulo de área fixa de modo que o comprimento total de cerca, dado pelo perímetro, seja mínimo. O conteúdo aqui é otimização com restrição, que podemos resolver usando substituição ou derivada com multiplicador de Lagrange.
Passo 2
Escrevemos a restrição de área e o perímetro que queremos minimizar. A área satisfaz
e o perímetro é
Passo 3
Isolamos uma variável pela área. Por exemplo,
Substituímos em :
Passo 4
Para achar o mínimo de , derivamos em relação a e igualamos a zero:
(consideramos ).
Passo 5
Usando na restrição de área, obtemos
Passo 6
Verificamos que é mínimo conferindo a segunda derivada:
logo é de fato um mínimo.
Resposta
As dimensões que minimizam o comprimento de cerca são x = 20,m e y = 20,m.