Um fazendeiro deseja cercar um pasto retangular, de dimensões x e y. Quais as dimensões do pasto para que o comprimento de cerca utilizado para limitar as regiões seja mínimo, sabendo que o pasto deverá ter área igual a 400 m^2 ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as dimensões x e y de um retângulo de área fixa 400,m^2 de modo que o comprimento total de cerca, dado pelo perímetro, seja mínimo. O conteúdo aqui é otimização com restrição, que podemos resolver usando substituição ou derivada com multiplicador de Lagrange.

Passo 2

Escrevemos a restrição de área e o perímetro que queremos minimizar. A área satisfaz
x , y = 400
e o perímetro é
P = 2l(x + yr)

Passo 3

Isolamos uma variável pela área. Por exemplo,
y = 400x
Substituímos em P:
P(x) = 2!l(x + 400xr)

Passo 4

Para achar o mínimo de P(x), derivamos em relação a x e igualamos a zero:
dPdx = 2l(1 - 400x^2r) Longrightarrow 1 - 400x^2 = 0 Longrightarrow x^2 = 400 Longrightarrow x = 20
(consideramos x>0).

Passo 5

Usando x=20 na restrição de área, obtemos
y = 40020 = 20

Passo 6

Verificamos que é mínimo conferindo a segunda derivada:
d^2Pdx^2 = 2l(800x^3r)|x=20 = 160020^3 > 0,
logo é de fato um mínimo.

Resposta

As dimensões que minimizam o comprimento de cerca são x = 20,m e y = 20,m.

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