Derive as funções.
y=cos ^3 xx^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para derivar a função y = cos^3 xx^2 . Isso está na área de cálculo, especificamente em derivadas. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, identificamos que y é uma fração onde o numerador é cos^3 x e o denominador é x^2 . Quando temos uma função que é uma divisão de duas funções, usamos a regra do quociente para derivar.
A regra do quociente diz que se y = f(x)g(x) , então:
y' = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)g(x)^2
Aqui, f(x) = cos^3 x e g(x) = x^2 .

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de f(x) e g(x) .
Para f(x) = cos^3 x , usamos a regra da cadeia. Seja u = cos x , então f(x) = u^3 . A derivada de u^3 em relação a u é 3u^2 , e a derivada de cos x é -sin x . Então:
f'(x) = 3cos^2x cdot (-sin x) = -3cos^2x sin x
Para g(x) = x^2 , a derivada é mais direta:
g'(x) = 2x

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente substituindo f'(x) , f(x) , g(x) e g'(x) :
y' = (-3cos^2x sin x) cdot x^2 - cos^3x cdot 2xx^4

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
y' = -3x^2cos^2x sin x - 2xcos^3xx^4
Podemos fatorar -xcos^2x no numerador:
y' = -xcos^2x (3x sin x + 2cos x)x^4
Cancelando x no numerador com x^4 no denominador:
y' = -(3x sin x + 2cos x)cos^2xx^3

Resposta

A derivada da função é:
y' = -,(3x,sin x + 2,cos x)cos^2xx^3

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