Determine a equação da reta tangente nos seguintes casos:
; no ponto
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à função $ f(x) = 3 + 4x^{2} - 2x^{3} $ no ponto onde $ x = 1 $. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o valor de $ f(1) $. Isso nos dará a coordenada $ y $ do ponto de tangência.
Então, o ponto de tangência é $ (1, 5) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $, que nos dará a inclinação da reta tangente.
Calculando a derivada:
Então, $ f’(x) = 8x - 6x^{2} $.
Passo 4
Vamos agora avaliar a derivada no ponto $ x = 1 $ para encontrar a inclinação da reta tangente.
A inclinação da reta tangente é 2.
Passo 5
Com a inclinação $ m = 2 $ e o ponto de tangência $ (1, 5) $, podemos usar a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Distribuindo o 2:
Somando 5 em ambos os lados:
Resposta
A equação da reta tangente é $ y = 2x + 3 $.