Determine a equação da reta tangente nos seguintes casos:
f(x)=3+4 x^2-2 x^3; no ponto x=1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à função $ f(x) = 3 + 4x^{2} - 2x^{3} $ no ponto onde $ x = 1 $. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de $ f(1) $. Isso nos dará a coordenada $ y $ do ponto de tangência.
f(1)
Então, o ponto de tangência é $ (1, 5) $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $, que nos dará a inclinação da reta tangente.
f(x)
Calculando a derivada:
f(x) = 3 + 4x^2 - 2x^3
Então, $ f’(x) = 8x - 6x^{2} $.

Passo 4

Vamos agora avaliar a derivada no ponto $ x = 1 $ para encontrar a inclinação da reta tangente.
x = 1
A inclinação da reta tangente é 2.

Passo 5

Com a inclinação $ m = 2 $ e o ponto de tangência $ (1, 5) $, podemos usar a fórmula da reta:
m = 2
Substituindo os valores:
(1, 5)
Distribuindo o 2:
y - y0 = m(x - x0)
Somando 5 em ambos os lados:
y - 5 = 2(x - 1)

Resposta

A equação da reta tangente é $ y = 2x + 3 $.

Exercícios relacionados