Seja a ED dada por: x^2 y^prime prime+2 x y^prime+(x^2-2) y=0. Usando o método de Frobenius, use a solução tentativa do tipo: y(x)=sumn=0^infty Cn x^n+s;
mostre que pela eq. indicial obtém-se os seguintes valores para s : s1=1 e s2=-2;

Passo 1

O enunciado dá a EDO
x^2y''+2xy'+l(x^2-2r)y=0
e pede os expoentes s na solução de Frobenius
y(x)=sumn=0^inftyCnx^n+s.
Para isso, vamos substituir essa série na EDO e extrair a equação indicial.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de y:
y'(x)=sumn=0^inftyCn(n+s)x^n+s-1,
y''(x)=sumn=0^inftyCn(n+s)(n+s-1)x^n+s-2

Passo 3

Substituindo na EDO, obtemos
x^2y''= sumn=0^inftyCn(n+s)(n+s-1)x^n+s,
2xy'= sumn=0^infty2Cn(n+s)x^n+s,
(x^2-2)y=sumn=0^inftyCnx^n+s+2-sumn=0^infty2Cnx^n+s
Agrupando os termos em x^n+s e em x^n+s+2, fica
sumn=0^inftyCnl[(n+s)(n+s-1)+2(n+s)-2r]x^n+s +sumn=0^inftyCnx^n+s+2=0
O termo de menor potência é x^s, que vem de n=0 na primeira soma. Para que a série seja solução, o coeficiente de x^s deve anular:
C0l[s(s-1)+2s-2r]=0

Passo 4

Como C0neq0, a equação indicial é
s(s-1)+2s-2=0
iff s^2+s-2=0
Resolvendo em s vem
s=-1pmraiz1+82 =-1pm32,
ou seja
s1=1, s2=-2

Resposta

s1=1 e s2=-2.

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