Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto R dado.
R=(x, y) in R^2: x>0, 4x <= 3 y <=-3 x^2+7 x.

Passo 1

O enunciado pede a área do conjunto
R = (x,y)inR^2 : x>0,;4x<=3y<=-3x^2+7x
ou seja, é uma integral dupla de 1 sobre a região limitada pelas curvas definidas por
yrm inf(x)=43x e yrm sup(x)=-,x^2+73x

Passo 2

Para escrever R em forma de iterada, notamos que
3y>=4ximplies y>=43x, 3y<=-3x^2+7ximplies y<= -,x^2+73x
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R=l(x,y):x>0,;yrm inf(x)<= y<= yrm sup(x)r

Passo 3

Precisamos achar o intervalo de x em que yrm inf(x)<= yrm sup(x). Isso dá
43x<= -x^2+73x ;Long<=ftrightarrow; 4<= -3x^3+7x^2 ;Long<=ftrightarrow; 3x^3-7x^2+4<=0
Fatorando 3x^3-7x^2+4=(x-1)(3x^2-4x-4), com raízes x=-tfrac23,1,2, vemos que para x>0 a desigualdade vale só em
1<= x<=2

Passo 4

Assim a área de R é
Área=integralx=1^2l[yrm sup(x)-yrm inf(x)r],dx =integral1^2l(-x^2+tfrac73x-tfrac43xr),dx Á

Passo 5

Calculemos a integral:
integrall(-x^2+tfrac73x-tfrac43xr)dx =-x^33+76x^2-43ln x+ C
Em x=2 isso vale
-83+76cdot4-43ln2 =2-43ln2,
e em x=1 vale
-13+76= 56
Subtraindo,
Área =l(2-43ln2r)-56 =76-43ln2 Á

Resposta

boxedÁrea(R)=76-43ln2 Á

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