Exercício 3: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= dfrac1x-2, & x<2,[0.5em] ln(x-2), & x>2
e pede limxto2f(x). Como f é dada de forma diferente à esquerda e à direita de x=2, vamos calcular os limites laterais e ver se coincidem.]

Passo 2

Calculemos o limite pela esquerda:
limxto2^-f(x) =limxto2^-1x-2
Quando xto2^-, temos x-2to0^-, isto é, o denominador fica cada vez negativo e muito pequeno em módulo. Portanto
limxto2^-1x-2=-infty

Passo 3

Agora o limite pela direita:
limxto2^+f(x) =limxto2^+ln(x-2)
Para xto2^+, o argumento x-2to0^+. Sabemos que
limtto0^+ln t=-infty,
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limxto2^+ln(x-2)=-infty

Passo 4

Como ambos os limites laterais valem -infty, em sentido estendido temos
limxto2f(x)=-infty
Em termos de limite finito (no conjunto dos reais) isso significa que o limite não existe como número real, pois diverge para -infty.

Resposta

limxto2f(x)=-infty (diverge para -infty).

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