Derive as funções:
h(x)=x^3raiz[3]3 x^2-1

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos encontrar a derivada da função
h(x)=\frac{x3}{\sqrt[3]{3x2-1}}.
O conteúdo envolvido é derivação de funções obtidas por produto e regra da cadeia.

Passo 2

Para facilitar a derivação, reescrevemos h(x) usando expoente negativo:
h(x)=x^3,(3x^2-1)^-tfrac13

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto. Definimos:
f(x)=x^3 e g(x)=(3x2-1){-\tfrac13}.
Pela regra do produto, temos:
h'(x)=f'(x),g(x)+f(x),g'(x)

Passo 4

Calculamos f’(x) e g’(x) separadamente:
Para f(x)=x^3, f’(x)=3x^2.
Para g(x)=(3x2-1){-\tfrac13}, usamos a regra da cadeia:
g'(x)=-tfrac13,(3x^2-1)^-tfrac43cdot(6x)=-2x,(3x^2-1)^-tfrac43

Passo 5

Substituindo em h’(x):
h'(x)=3x^2,(3x^2-1)^-tfrac13+x^3,l(-2x,(3x^2-1)^-tfrac43r)
Ficando
h'(x)=3x^2(3x^2-1)^1/3-2x^4(3x^2-1)^4/3

Passo 6

Para simplificar, fatoramos x2(3x2-1)^{-4/3} em evidência:
h'(x)=x^2,(3x^2-1)^-tfrac43l[3(3x^2-1)-2x^2r] =x^2(3x^2-1)^-tfrac43(9x^2-3-2x^2) =x^2(7x^2-3)(3x^2-1)^-tfrac43

Passo 7

Portanto, a derivada está obtida e simplificada.

Resposta

Exercícios relacionados