Derive as funções:
Passo 1
Resumo do enunciado: precisamos encontrar a derivada da função
h(x)=\frac{x3}{\sqrt[3]{3x2-1}}.
O conteúdo envolvido é derivação de funções obtidas por produto e regra da cadeia.
h(x)=\frac{x3}{\sqrt[3]{3x2-1}}.
O conteúdo envolvido é derivação de funções obtidas por produto e regra da cadeia.
Passo 2
Para facilitar a derivação, reescrevemos h(x) usando expoente negativo:
Passo 3
Agora aplicamos a regra do produto. Definimos:
f(x)=x^3 e g(x)=(3x2-1){-\tfrac13}.
Pela regra do produto, temos:
f(x)=x^3 e g(x)=(3x2-1){-\tfrac13}.
Pela regra do produto, temos:
Passo 4
Calculamos f’(x) e g’(x) separadamente:
Para f(x)=x^3, f’(x)=3x^2.
Para g(x)=(3x2-1){-\tfrac13}, usamos a regra da cadeia:
Para f(x)=x^3, f’(x)=3x^2.
Para g(x)=(3x2-1){-\tfrac13}, usamos a regra da cadeia:
Passo 5
Substituindo em h’(x):
Ficando
Passo 6
Para simplificar, fatoramos x2(3x2-1)^{-4/3} em evidência:
Passo 7
Portanto, a derivada está obtida e simplificada.