Determine se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, ache seu potencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o campo vetorial
é conservativo. Se for, também precisamos encontrar a função potencial desse campo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o teste do rotacional para verificar se o campo é conservativo e, se for o caso, integrar para achar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
, ou seja, as componentes de
são as derivadas parciais de
. Uma das formas de verificar se um campo é conservativo é calculando o rotacional de
(também conhecido como curl) e ver se ele é zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. Sabemos que, para um campo
, o rotacional é dado por:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Passo 5
Então, o rotacional de
é:
Para o campo ser conservativo, o rotacional deve ser igual a zero em todas as componentes. No nosso caso, isso só acontece se
e
para todo
, o que não é verdade em geral. Portanto, o rotacional não é zero e o campo
não é conservativo.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo.