Determine se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, ache seu potencial.
y^2 z^2 - 1, 2 x y z^2, 4 z^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o campo vetorial é conservativo. Se for, também precisamos encontrar a função potencial desse campo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o teste do rotacional para verificar se o campo é conservativo e, se for o caso, integrar para achar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo F é conservativo se existe uma função escalar tal que , ou seja, as componentes de F são as derivadas parciais de phi. Uma das formas de verificar se um campo é conservativo é calculando o rotacional de F (também conhecido como curl) e ver se ele é zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F. Sabemos que, para um campo , o rotacional é dado por:
No nosso caso, , e .

Passo 4

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:

Passo 5

Então, o rotacional de F é:
Para o campo ser conservativo, o rotacional deve ser igual a zero em todas as componentes. No nosso caso, isso só acontece se e para todo (x, y, z), o que não é verdade em geral. Portanto, o rotacional não é zero e o campo F não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo.

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