Derive as funções abaixo:
f(x)=sen^3(ln (x^2))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=sin^3l(ln(x^2)r)
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois temos uma composição de quatro funções:
  1. w(x)=x^2
  2. u(w)=ln(w)
  3. v(u)=sin(u)
  4. g(v)=v^3

Passo 2

Vamos primeiro identificar as funções interna e externa numa só aplicação da regra da cadeia. Defina
u(x)=ln(x^2)
e note que
f(x)=l(sin(u(x))r)^3
Assim, ao derivar f, teremos de multiplicar a derivada da parte externa (o cubo de sin) pela derivada da parte interna ( ln(x^2)).

Passo 3

Calcule a derivada da parte externa. Se h(v)=v^3 com v=sin(u), então
dhdv=3,v^2 e dvdu=cos(u)
Então, por cadeia interna em v, a derivada de sin^3(u) em relação a u é
ddul(sin^3(u)r) =3,sin^2(u),cos(u)

Passo 4

Agora derive a parte interna u(x)=ln(x^2). Usando a regra da função logaritmo e a regra do poder,
dudx =ddxln(x^2) =1x^2cdot2x =2x

Passo 5

Aplica-se a regra da cadeia completa:
f'(x) =ddul(sin^3(u)r)|u=ln(x^2);times;dudx =3,sin^2l(ln(x^2)r),cosl(ln(x^2)r),cdot2x
Simplificando o coeficiente, obtemos
f'(x) =6x,sin^2l(ln(x^2)r),cosl(ln(x^2)r)

Resposta

f'(x)=6,sin^2l(ln(x^2)r),cosl(ln(x^2)r)x

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