Nos exercícios 31-40, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral.
integral0^2 integral0^4-x^2 x e^2 y4-y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região de integração dada por 0≤x≤2 e 0≤y≤4−x², inverter a ordem de integração e calcular a integral dupla de x e^2y4-y. O conteúdo aqui envolve integração dupla e teorema de Fubini para trocar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, esboçamos a região no plano xy. A curva y=4−x²² é uma parábola invertida que cruza o eixo y em 4. Para x variando de 0 a 2, y varia de 0 até 4−x²². Invertendo, y vai de 0 a 4 e, para cada y fixo, x vai de 0 até raiz4−y.
Com a ordem invertida, a integral fica
integraly=0^4 integralx=0^raiz4-y x e^2y4-y ,dx,dy

Passo 3

Na integral interna em x, o fator e^2y/(4-y) é constante em relação a x. Logo,
integral0^raiz4-y x ,dx = x^22|0^raiz4-y = 4-y2
Multiplicando pelo fator fora, obtemos
integral0^raiz4-y x e^2y4-y ,dx = e^2y4-y cdot 4-y2 = 12e^2y

Passo 4

Agora calculamos a integral em y:
integral0^4 12e^2y ,dy = 12 cdot 12e^2y |0^4 = 14(e^8-1)

Resposta

e^8-14

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