Derive as funções abaixo:
(2 x^7-cos (4 x))
f(x)=sen^3(ln (x^2))

Passo 1

O enunciado pede a derivação de duas funções:
g(x)=2x^7-cos(4x)
e
f(x)=sen^3l(ln(x^2)r)
O conteúdo envolvido inclui as regras de derivação de soma e diferença, regra do poder e, principalmente, regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Para g(x)=2x^7-cos(4x) usamos:
  • Regra da diferença: l[u(x)-v(x)r]'=u'(x)-v'(x).
  • Derivada de 2x^7 pela regra do poder: l(x^7r)'=7x^6, logo (2x^7)'=14x^6
  • Derivada de -cos(4x) pela cadeia: se h(x)=-cos(u) então h'(x)=-l(-sin(u)r),u'. Aqui u=4x e u'=4.
    Portanto,
g'(x)=14x^6+4sin(4x)

Passo 3

Para f(x)=sen^3l(ln(x^2)r) reconhecemos três camadas:
  1. w(u)=u^3, com w'(u)=3u^2.
  2. u(v)=sen(v), com u'(v)=cos(v).
  3. v(x)=ln(x^2), com v'(x)=2x (regra da derivada do logaritmo e da potência).
    Aplicando a cadeia:
f'(x)=w'l(u(v(x))r)cdot u'l(v(x)r)cdot v'(x) =3l[sen(ln(x^2))r]^2cdotcos(ln(x^2))cdot2x

Passo 4

Simplificando o resultado:
f'(x)=6x,sen^2l(ln(x^2)r),cosl(ln(x^2)r)

Resposta

g'(x)=14x^6+4sin(4x),
f'(x)=6x,sen^2l(ln(x^2)r),cosl(ln(x^2)r)

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