Resolva as equações diferenciais:
(e)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
dydx = x - e^-xy + e^y
Esse tipo de equação é separável, pois conseguimos isolar todos os termos com y de um lado e com x do outro. Vamos usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Separamos variáveis multiplicando ambos os lados por (y + e^y),dx:
(y + e^y),dy = (x - e^-x),dx

Passo 3

Integrando ambos os lados:
integral (y + e^y),dy = integral (x - e^-x),dx
À esquerda, integral y,dy = tfracy^22 e integral e^y,dy = e^y, somando dá tfracy^22 + e^y.
À direita, integral x,dx = tfracx^22 e integral e^-x,dx = -e^-x, somando dá tfracx^22 + e^-x.
Logo, incluindo a constante de integração C,
y^22 + e^y = x^22 + e^-x + C

Passo 4

Multiplicando tudo por 2 e renomeando 2C para C', obtemos a forma implícita mais limpa
y^2 + 2e^y = x^2 + 2e^-x + C'

Resposta

y^2 + 2e^y = x^2 + 2e^-x + C
onde C é a constante de integração.

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