Resolva as equações diferenciais:
(d)

Passo 1

Nesse exercício, temos a equação diferencial
xdydx=raiz1-y^2
O conteúdo aqui é equações diferenciais de variáveis separáveis, e vamos precisar usar a definição de derivada dy/dx, separar as variáveis e integrar cada lado.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a derivada explicitamente:
dydx=raiz1-y^2x

Passo 3

Agora separamos as variáveis: colocamos todas as dependências de y de um lado e de x do outro lado:
dyraiz1-y^2=dxx

Passo 4

Em seguida, integramos ambos os lados. Do lado esquerdo usamos que
integraldyraiz1-y^2=arcsin(y)+C1
e do lado direito
integraldxx=lnlvert xrvert +C2
Podemos combinar as constantes de integração em uma única constante C.

Passo 5

Igualando as integrais, obtemos
arcsin(y)=lnlvert xrvert +C
Por fim, isolamos y aplicando o seno dos dois lados:
y=sinl(lnlvert xrvert +Cr)

Resposta

A solução geral é
y(x)=sinl(lnlvert xrvert +Cr),
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados