Qual destas funções se aproximan de zero quando (x, y) (0,0), e por que?
(a) x y^2x^2+y^2,
(b) x^2 y^2x^4+y^4.

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais das duas funções de duas variáveis
se aproximam de zero quando (x,y)to(0,0). O conteúdo usado será análise de limite em várias variáveis via coordenadas polares (para estimar cotas) e estudo por trajetórias (para mostrar falta de existência ou valor diferente).

Passo 2

Analisando
f(x,y)=x,y^2x^2+y^2,
introduzimos r=raizx^2+y^2. Então
|x,y^2|<= |x|,|y|^2<= rcdot r^2=r^3, x^2+y^2=r^2
Dessa forma
|x,y^2x^2+y^2| <= r^3r^2=r,
e como rto0 concluímos que
x,y^2x^2+y^2longrightarrow0

Passo 3

Analisando
g(x,y)=x^2y^2x^4+y^4,
vamos pela reta y=x. Nesse caso
g(x,x)=x^2cdot x^2x^4+x^4 =x^42x^4=12,
que não depende de x e não tende a zero quando xto0. Logo o limite não é zero (nem é único).

Resposta

Apenas a função (a) se aproxima de zero quando (x,y)to(0,0). A função (b) não.

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