Qual destas funções se aproximan de zero quando , e por que?
(a) ,
(b) .
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais das duas funções de duas variáveis
se aproximam de zero quando . O conteúdo usado será análise de limite em várias variáveis via coordenadas polares (para estimar cotas) e estudo por trajetórias (para mostrar falta de existência ou valor diferente).
Passo 2
Analisando
introduzimos . Então
Dessa forma
e como rto0 concluímos que
x,y^2x^2+y^2longrightarrow0
Passo 3
Analisando
g(x,y)=x^2y^2x^4+y^4,
vamos pela reta y=x. Nesse caso
g(x,x)=x^2cdot x^2x^4+x^4 =x^42x^4=12,
que não depende de x e não tende a zero quando xto0. Logo o limite não é zero (nem é único).
Resposta
Apenas a função (a) se aproxima de zero quando (x,y)to(0,0). A função (b) não.