Derive as funções abaixo:
q) f(t)=t^{3} e^{t} \ln (t)$;

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t)=t^3e^tln(t)
O conteúdo aqui é a regra do produto estendida para três fatores, além do conhecimento de derivadas básicas:
  • ddt[t^3]=3t^2
  • ddt[e^t]=e^t
  • ddt[ln(t)]=1t

Passo 2

Vamos chamar
u(t)=t^3, v(t)=e^t, w(t)=ln(t)
Então f(t)=u(t),v(t),w(t). Já sabemos
u'(t)=3t^2, v'(t)=e^t, w'(t)=1t

Passo 3

Pela regra do produto para três funções,
f'(t)=u'(t),v(t),w(t)+u(t),v'(t),w(t)+u(t),v(t),w'(t)
Substituindo as derivadas:
f'(t)=3t^2,e^t,ln(t) + t^3,e^t,ln(t) + t^3,e^t,1t

Passo 4

Agora fatoramos e^t e potências de t:
f'(t) =e^tl(3t^2ln(t)+t^3ln(t)+t^2r) =e^tt^2l(3ln(t)+tln(t)+1r)
Podemos também escrever
f'(t)=t^2e^tl((t+3)ln(t)+1r)

Resposta

boxedf'(t)=t^2e^tl((t+3)ln(t)+1r)

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