Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto dado:
a) f(x)=x^3+x^2 e P(1,2);

Passo 1

O enunciado nos pede as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f(x)=x^3+x^2 no ponto P(1,2). Vamos usar derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e, em seguida, a equação ponto-inclinação para cada reta.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=3x^2+2x
Em x=1,
f'(1)=3cdot1^2+2cdot1=3+2=5
Portanto, a inclinação da reta tangente em P é mrm t=5.

Passo 3

Usando a fórmula ponto-inclinação para a reta tangente em P(1,2):
y-2 = 5,(x-1)
Desenvolvendo,
y = 5x -5 +2 = 5x -3

Passo 4

A reta normal é perpendicular à tangente, logo sua inclinação é o oposto do recíproco de 5:
mrm n=-15
Novamente usando ponto-inclinação em P(1,2):
y-2 = -tfrac15,(x-1)
Desenvolvendo,
y = -tfrac15x + tfrac15 +2 = -tfrac15x + tfrac115

Resposta

Reta tangente: y = 5x - 3
Reta normal: y = -tfrac15x + tfrac115

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