Se
, mostre que
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que
O conteúdo principal aqui é calcular derivadas parciais de uma composição e usar a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos obter as primeiras derivadas parciais usando a regra da cadeia. Defina
então
.
- Derivando em relação a
:
- Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora as derivadas de segunda ordem:
- Para
, derive em relação a :
- Para
, derive em relação a :
Passo 4
Compare os produtos:
Ambos dão a mesma expressão, logo
Resposta
A igualdade
fica comprovada, pois os dois lados se reduzem a
.