Se z=sen(x+sen y), mostre que partial zpartial x partial^2 zpartial x partial y=partial zpartial y partial^2 zpartial x^2 (zx zy x=zy zx x)

Passo 1

O enunciado define a função
z = sinl(x + sin yr)
e pede para mostrar que
zx,zyx ;=; zy,zxx
O conteúdo principal aqui é calcular derivadas parciais de uma composição e usar a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos obter as primeiras derivadas parciais usando a regra da cadeia. Defina
u = x + sin y,
então z = sin u.
  1. Derivando em relação a x:
zx = partialpartial xl(sin ur) = cos u ,partial upartial x = cosl(x+sin yr)cdot 1 = cosl(x+sin yr)
  1. Derivando em relação a y:
zy = partialpartial yl(sin ur) = cos u ,partial upartial y = cosl(x+sin yr)cdotcos y

Passo 3

Agora as derivadas de segunda ordem:
  1. Para zxx, derive zx = cos(x+sin y) em relação a x:
zxx = partialpartial xl[cos(x+sin y)r] = -sinl(x+sin yr)cdot 1 = -sinl(x+sin yr)
  1. Para zyx, derive zy = cos(x+sin y)cos y em relação a x:
zyx = partialpartial xl[cos(x+sin y)cos yr] = l[-sin(x+sin y)cdot 1r]cos y = -sinl(x+sin yr)cos y

Passo 4

Compare os produtos:
zx,zyx = cos(x+sin y),l[-sin(x+sin y)cos yr] = -cos(x+sin y),sin(x+sin y),cos y,
zy,zxx = l[cos(x+sin y)cos yr], l[-sin(x+sin y)r] = -cos(x+sin y),sin(x+sin y),cos y
Ambos dão a mesma expressão, logo
zx,zyx ;=; zy,zxx

Resposta

A igualdade zx,zyx=zy,zxx fica comprovada, pois os dois lados se reduzem a -cos(x+sin y),sin(x+sin y),cos y.

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