DERIVE AS FUNÇÕES ABAIXO.
f(x)=\cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de f(x)=\cos(x). Para isso vamos usar a definição de derivada via limite e uma identidade trigonométrica.

Passo 2

Escrevemos a derivada pela definição:
f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}.

Passo 3

Aplicamos a identidade
\cos(x+h)-\cos(x) = -2\,\sin\Bigl(x+\tfrac h2\Bigr)\,\sin\Bigl(\tfrac h2\Bigr)
para reescrever o quociente:
\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h} = \frac{-2\,\sin\bigl(x+\tfrac h2\bigr)\,\sin\bigl(\tfrac h2\bigr)}{h} = -\sin\Bigl(x+\tfrac h2\Bigr)\,\frac{\sin(\tfrac h2)}{\tfrac h2}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando h\to0. Sabemos que \sin(x+\tfrac h2)\to\sin(x) e \frac{\sin(\tfrac h2)}{\tfrac h2}\to1. Logo,
f'(x) = \lim_{h\to0}\Bigl[-\sin\bigl(x+\tfrac h2\bigr)\Bigr]\cdot\lim_{h\to0}\frac{\sin(\tfrac h2)}{\tfrac h2} = -\sin(x)\cdot1 = -\sin(x).

Resposta

A derivada é
f'(x) = -\sin(x).

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