DERIVE AS FUNÇÕES ABAIXO.
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{x^{2}+1}{x}.
O assunto aqui é diferenciação de funções racionais, e podemos usar tanto a regra do quociente quanto simplificar a expressão antes de derivar.

Passo 2

Vamos simplificar f(x) fazendo a divisão de cada termo pelo denominador x:
f(x)=\frac{x^{2}}{x}+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}.
Essa reescrita facilita o cálculo porque transformamos a função num somatório de potências de x.

Passo 3

Agora derivamos termo a termo:
– A derivada de x é 1.
– A derivada de \tfrac{1}{x} é a derivada de x^{-1}, que é -1\,x^{-2}.
Portanto,
f'(x)=1+(-1)\,x^{-2}=1-\frac{1}{x^{2}}.

Resposta

f'(x)=1-\frac{1}{x^{2}}.

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