DERIVE AS FUNÇÕES ABAIXO.
f(x)=\sin (x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=\sin(x). O conteúdo aqui é derivação de funções trigonométricas, e vamos usar a definição de derivada pela diferença de quocientes.

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada:
f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Aplicando em f(x)=\sin(x):
f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}.

Passo 3

Usamos a identidade de soma de ângulos:
\sin(x+h) = \sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h).
Logo,
\sin(x+h)-\sin(x) = \sin(x)\bigl(\cos(h)-1\bigr) + \cos(x)\,\sin(h).
Substituindo na diferença de quocientes:
f'(x) = \lim_{h\to 0}\left[\sin(x)\frac{\cos(h)-1}{h} +\cos(x)\frac{\sin(h)}{h}\right].

Passo 4

Sabemos os limites fundamentais:
\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} = 0, \quad \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} = 1.
Portanto,
f'(x) = \sin(x)\cdot 0 + \cos(x)\cdot 1 = \cos(x).

Resposta

A derivada de f(x)=\sin(x) é f'(x)=\cos(x).

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