Derive as funções abaixo:
f(x)=\frac{\ln x}{x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{\ln x}{x^{2}},
que envolve uma divisão de duas funções. Para resolver, vamos reescrever como um produto e usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Reescrevendo em forma de produto, temos
f(x)=\ln(x)\cdot x^{-2}.
Assim podemos aplicar a regra do produto entre
g(x)=\ln(x) \quad\text{e}\quad h(x)=x^{-2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
A derivada de g(x)=\ln(x) é
g'(x)=\frac{1}{x},
e a derivada de h(x)=x^{-2} é, usando a regra do expoente,
h'(x)=-2\,x^{-3}.

Passo 4

Pela regra do produto,
f'(x)=g'(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x).
Substituindo, fica
f'(x) =\frac{1}{x}\cdot x^{-2} +\ln(x)\cdot\bigl(-2\,x^{-3}\bigr).

Passo 5

Agora basta simplificar:
\frac{1}{x}\cdot x^{-2}=x^{-3}, \quad \ln(x)\cdot(-2\,x^{-3})=-2\ln(x)\,x^{-3}.
Somando os termos semelhantes, escrevemos
f'(x)=\bigl(1-2\ln(x)\bigr)\,x^{-3}
e, voltando à forma de fração,

Resposta

f'(x)=\frac{1-2\ln(x)}{x^{3}}.

Exercícios relacionados