Derive as funções abaixo.
f(x)=\frac{x^{2}}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{x^{2}}{x+1}
Isso envolve o conteúdo de diferenciação de quociente, usando a regra do quociente para funções u(x) e v(x).

Passo 2

Identificamos as partes do quociente: u(x)=x^{2} e v(x)=x+1.
As derivadas são
u'(x)=2x, \quad v'(x)=1.

Passo 3

A regra do quociente diz que
\biggl(\frac{u}{v}\biggr)' = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^{2}}.

Passo 4

Substituindo u, v, u' e v' na fórmula, obtemos
f'(x) = \frac{2x\,(x+1) - x^{2}\cdot1}{(x+1)^{2}} = \frac{2x(x+1) - x^{2}}{(x+1)^{2}}.

Passo 5

Agora simplificamos o numerador:
2x(x+1) - x^{2} = 2x^{2} + 2x - x^{2} = x^{2} + 2x.
Então
f'(x) = \frac{x^{2} + 2x}{(x+1)^{2}}.

Passo 6

Por fim, podemos fatorar o numerador para uma forma mais enxuta:
x^{2}+2x = x(x+2),
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f'(x) = \frac{x(x+2)}{(x+1)^{2}}.

Resposta

f'(x) = \frac{x(x+2)}{(x+1)^{2}}.

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