Utilizando o Teorema 3, verifique que as funções abaixo são diferenciáveis. d(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) ; \\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.
e pede para verificar que d é diferenciável em toda parte usando o Teorema 3, que diz:
se as derivadas parciais existem num entorno de um ponto e são contínuas nesse ponto, então a função é diferenciável ali. Vamos checar isso em (0,0) e em \R^2\setminus\{(0,0)\}.
Passo 2
Em \R^2\setminus\{(0,0)\}, a função
d(x,y)=\frac{x^4}{x^2+y^2}
é razão de funções polinomiais com denominador não nulo, logo é diferenciável por teorias básicas de funções elementares. Portanto basta estudar a diferenciabilidade em (0,0).
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais em (0,0) por definição:
Como \sqrt{x^2+y^2}\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que \partial d/\partial x\to0. De modo análogo mostra-se \partial d/\partial y\to0. Assim ambas as parciais são contínuas em (0,0).
Passo 6
Pelo Teorema 3, como as derivadas parciais existem num entorno de (0,0) e são contínuas em (0,0), conclui-se que d é diferenciável em (0,0). Juntando com a diferenciabilidade em \R^2\setminus\{(0,0)\}, temos que d é diferenciável em todo \R^2.
Resposta
A função d(x,y) é diferenciável em todos os pontos de \R^2.