Utilizando o Teorema 3, verifique que as funções abaixo são diferenciáveis.
d(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) ; \\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define
d(x,y)= \begin{cases} \displaystyle\frac{x^{4}}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para verificar que d é diferenciável em toda parte usando o Teorema 3, que diz:
se as derivadas parciais existem num entorno de um ponto e são contínuas nesse ponto, então a função é diferenciável ali. Vamos checar isso em (0,0) e em \R^2\setminus\{(0,0)\}.

Passo 2

Em \R^2\setminus\{(0,0)\}, a função
d(x,y)=\frac{x^4}{x^2+y^2}
é razão de funções polinomiais com denominador não nulo, logo é diferenciável por teorias básicas de funções elementares. Portanto basta estudar a diferenciabilidade em (0,0).

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais em (0,0) por definição:
\frac{\partial d}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{d(h,0)-d(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\frac{h^4}{h^2}-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h^2}{h} =\lim_{h\to0}h=0,
\frac{\partial d}{\partial y}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{d(0,h)-d(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
Portanto \nabla d(0,0)=(0,0).

Passo 4

Agora temos as fórmulas das parciais para (x,y)\neq(0,0). Diferenciando \displaystyle d(x,y)=x^4\,(x^2+y^2)^{-1}, obtemos
\frac{\partial d}{\partial x}(x,y) =\frac{2x^3\bigl(x^2+2y^2\bigr)}{(x^2+y^2)^2}, \quad \frac{\partial d}{\partial y}(x,y) =-\frac{2x^4y}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 5

Verifiquemos a continuidade dessas parciais em (0,0). Note que, para (x,y)\neq(0,0),
\biggl|\frac{\partial d}{\partial x}(x,y)\biggr| \le\frac{2|x|^3(x^2+2y^2)}{(x^2+y^2)^2} \le\frac{2|x|^3\cdot3(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2} =\frac{6|x|^3}{x^2+y^2} \le6\sqrt{x^2+y^2}\,\bigl\|\,(x,y)\bigr\|.
Como \sqrt{x^2+y^2}\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que \partial d/\partial x\to0. De modo análogo mostra-se \partial d/\partial y\to0. Assim ambas as parciais são contínuas em (0,0).

Passo 6

Pelo Teorema 3, como as derivadas parciais existem num entorno de (0,0) e são contínuas em (0,0), conclui-se que d é diferenciável em (0,0). Juntando com a diferenciabilidade em \R^2\setminus\{(0,0)\}, temos que d é diferenciável em todo \R^2.

Resposta

A função d(x,y) é diferenciável em todos os pontos de \R^2.

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