Determine os pontos críticos (se existirem) da função
f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de
f(x)=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}
O conteúdo aqui é cálculo de derivada e definição de ponto crítico (onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe). Como a função envolve \sqrt{x}, seu domínio é x>0.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de f. Como \sqrt{x}=x^{1/2} e 1/\sqrt{x}=x^{-1/2}, usamos a regra de potência:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1/2}\bigr) =\frac{1}{2}x^{-1/2}-\frac{1}{2}x^{-3/2}.
Em termos de radicais,
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2x^{3/2}}.

Passo 3

Procuramos onde f'(x)=0:
\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2x^{3/2}}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{x^{3/2}} \;\Longrightarrow\; x^{3/2}=\sqrt{x} \;\Longrightarrow\; x^{3/2-1/2}=1 \;\Longrightarrow\; x^1=1 \;\Longrightarrow\; x=1.

Passo 4

Verificamos onde f'(x) não existe: a derivada só falha em x=0, mas x=0 não pertence ao domínio x>0. Portanto não há outros pontos críticos.

Resposta

O único ponto crítico de f é x=1.

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