Derive as funções abaixo.
x e^{y}=y \sin (x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \displaystyle \frac{dy}{dx} para a curva dada implicitamente por
x\,e^{y}=y\,\sin(x).
Para isso, vamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x\,e^{y}\bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(y\,\sin(x)\bigr).
Pelo produto e cadeia, obtemos
\underbrace{1\cdot e^{y}}_{\frac{d}{dx}(x)\cdot e^{y}} +\underbrace{x\,e^{y}\,\frac{dy}{dx}}_{\!x\cdot\frac{d}{dx}(e^{y})} = \underbrace{\frac{dy}{dx}\,\sin(x)}_{\frac{d}{dx}(y)\cdot\sin(x)} + \underbrace{y\,\cos(x)}_{y\cdot\frac{d}{dx}(\sin x)}.

Passo 3

Agora agrupamos os termos que contêm \displaystyle \frac{dy}{dx} de um lado e os demais termos do outro:
x\,e^{y}\,\frac{dy}{dx}-\sin(x)\,\frac{dy}{dx} = y\,\cos(x)-e^{y}.

Passo 4

Fatorando \displaystyle \frac{dy}{dx} em evidência e isolando-o, vem
\frac{dy}{dx}\,\bigl(x\,e^{y}-\sin(x)\bigr) = y\,\cos(x)-e^{y} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{y\,\cos(x)-e^{y}}{x\,e^{y}-\sin(x)}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{y\,\cos(x)-e^{y}}{x\,e^{y}-\sin(x)}.

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