Determine se as seguintes séries são divergentes ou convergentes. No caso de convergência diga ainda se são absoluta ou condicionalmente convergentes.
\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k}}{\ln (k)} R .:

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{\ln(k)}.
O que o problema pede:
  • Determinar se a série diverge ou converge.
  • Se for convergente, dizer se é absolutamente convergente ou apenas condicionalmente convergente.
Observação importante (tirada do enunciado): \ln(1)=0, então o termo para k=1 não está definido. Por isso a soma tem de ser entendida a partir de k=2; isto é, vamos analisar
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{\ln(k)}.

Passo 2

Identifico o tipo de série e a estratégia: os termos alternam sinal por causa de (-1)^{k}. Para séries alternadas é natural tentar o Teste de Leibniz (teste da série alternada). Para aplicar o teste preciso trabalhar com a sequência dos módulos dos termos
b_k=\frac{1}{\ln(k)},\qquad k\ge2,
e verificar duas condições:
  1. \lim_{k\to\infty} b_k=0;
  2. b_k é (eventualmente) monotonicamente decrescente.
Se essas duas condições valem, a série alternada converge. Depois preciso verificar a convergência absoluta, ou seja a série dos módulos
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{\ln(k)}
converge ou diverge? Para isso usarei um teste apropriado (por exemplo o teste da condensação de Cauchy ou comparação/integral).

Passo 3

Verificar que \lim_{k\to\infty} b_k=0.
Explicação do conceito: se \ln(k)\to\infty quando k\to\infty, então a recíproca \dfrac{1}{\ln(k)}\to0. Mais formalmente,
\lim_{k\to\infty}\frac{1}{\ln(k)}=0,
porque \ln(k) cresce sem limite quando k\to\infty. Logo a primeira condição do Teste de Leibniz está satisfeita.

Passo 4

Verificar monotonicidade de b_k=\dfrac{1}{\ln(k)}.
Explicação didática: a função contínua f(x)=\dfrac{1}{\ln x} tem derivada
f'(x)=-\frac{1}{x(\ln x)^2},
que é negativa para todo x>1. Assim f é decrescente em (1,\infty). Como b_k=f(k) com k\ge2, a sequência (b_k) é decrescente a partir de k=2 (ou, no mínimo, a partir de k\ge3 é claro). Conclusão: b_k é (eventualmente) decrescente, satisfazendo a segunda condição do Teste de Leibniz.

Passo 5

Aplicar o Teste de Leibniz (série alternada).
Enunciado do teste (em palavras): se (b_k) é uma sequência positiva, monótona decrescente e com \lim_{k\to\infty} b_k=0, então a série alternada \sum (-1)^k b_k converge.
Já mostramos que b_k=\dfrac{1}{\ln(k)} é positiva, tende a 0 e é decrescente para k grandes. Portanto, pela regra de Leibniz, a série
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{\ln(k)}
converge. Isto significa que a série converge (pelo menos) condicionalmente — resta verificar a convergência absoluta.

Passo 6

Verificar a convergência absoluta: estudar \displaystyle\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{\ln(k)}.
Método escolhido e por quê: como b_k é positiva e decrescente, o Teste da Condensação de Cauchy é uma ferramenta simples e poderosa aqui. Declaração do teste (versão usada): se (a_n) é positiva e decrescente, então \sum_{n=1}^\infty a_n converge se, e somente se, a série condensada \sum_{n=1}^\infty 2^n a_{2^n} converge.
Aplicando com a_n=\dfrac{1}{\ln(n)} (que é positiva e decrescente para n\ge2), calculo os termos condensados:
2^n a_{2^n}=2^n\cdot\frac{1}{\ln(2^n)}=\frac{2^n}{n\ln 2}.
Agora observe que os termos \dfrac{2^n}{n\ln 2} crescem muito (de fato tendem a +\infty quando n\to\infty), então a série \sum_{n=1}^\infty \dfrac{2^n}{n\ln 2} diverge (nem sequer os termos vão a zero, condição necessária para convergência de uma série). Pelo teste da condensação, isso implica que
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{\ln(k)}
diverge.
Comentário exemplificativo (pequeno reforço): para comparar, com a série harmônica a_n=1/n a condensação dá termos 2^n\cdot 1/2^n=1, mostrando divergência; aqui a condensação dá termos que crescem ainda mais rapidamente, então segue divergente.

Passo 7

Concluir sobre tipo de convergência.
  • A série alternada \displaystyle\sum_{k=2}^{\infty}\dfrac{(-1)^k}{\ln(k)} converge por Teste de Leibniz.
  • A série dos módulos \displaystyle\sum_{k=2}^{\infty}\dfrac{1}{\ln(k)} diverge (teste da condensação de Cauchy).
Portanto a série dada converge, mas não absolutamente: é condicionalmente convergente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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