Determine se as seguintes séries são divergentes ou convergentes. No caso de convergência diga ainda se são absoluta ou condicionalmente convergentes.
Passo 1
O enunciado dá a série
O que o problema pede:
- Determinar se a série diverge ou converge.
- Se for convergente, dizer se é absolutamente convergente ou apenas condicionalmente convergente.
Observação importante (tirada do enunciado):
, então o termo para
não está definido. Por isso a soma tem de ser entendida a partir de
; isto é, vamos analisar
Passo 2
Identifico o tipo de série e a estratégia: os termos alternam sinal por causa de
. Para séries alternadas é natural tentar o Teste de Leibniz (teste da série alternada). Para aplicar o teste preciso trabalhar com a sequência dos módulos dos termos
e verificar duas condições:
-
; -
é (eventualmente) monotonicamente decrescente.
Se essas duas condições valem, a série alternada converge. Depois preciso verificar a convergência absoluta, ou seja a série dos módulos
converge ou diverge? Para isso usarei um teste apropriado (por exemplo o teste da condensação de Cauchy ou comparação/integral).
Passo 3
Verificar que
.
Explicação do conceito: se
quando
, então a recíproca
. Mais formalmente,
porque
cresce sem limite quando
. Logo a primeira condição do Teste de Leibniz está satisfeita.
Passo 4
Verificar monotonicidade de
.
Explicação didática: a função contínua
tem derivada
que é negativa para todo
. Assim
é decrescente em
. Como
com
, a sequência
é decrescente a partir de
(ou, no mínimo, a partir de
é claro). Conclusão:
é (eventualmente) decrescente, satisfazendo a segunda condição do Teste de Leibniz.
Passo 5
Aplicar o Teste de Leibniz (série alternada).
Enunciado do teste (em palavras): se
é uma sequência positiva, monótona decrescente e com
, então a série alternada
converge.
Já mostramos que
é positiva, tende a
e é decrescente para
grandes. Portanto, pela regra de Leibniz, a série
converge. Isto significa que a série converge (pelo menos) condicionalmente — resta verificar a convergência absoluta.
Passo 6
Verificar a convergência absoluta: estudar
.
Método escolhido e por quê: como
é positiva e decrescente, o Teste da Condensação de Cauchy é uma ferramenta simples e poderosa aqui. Declaração do teste (versão usada): se
é positiva e decrescente, então
converge se, e somente se, a série condensada
converge.
Aplicando com
(que é positiva e decrescente para
), calculo os termos condensados:
Agora observe que os termos
crescem muito (de fato tendem a
quando
), então a série
diverge (nem sequer os termos vão a zero, condição necessária para convergência de uma série). Pelo teste da condensação, isso implica que
diverge.
Comentário exemplificativo (pequeno reforço): para comparar, com a série harmônica
a condensação dá termos
, mostrando divergência; aqui a condensação dá termos que crescem ainda mais rapidamente, então segue divergente.
Passo 7
Concluir sobre tipo de convergência.
- A série alternada
converge por Teste de Leibniz. - A série dos módulos
diverge (teste da condensação de Cauchy).
Portanto a série dada converge, mas não absolutamente: é condicionalmente convergente.
Resposta
A série converge condicionalmente.