Derive as funções abaixo para praticar a regra do produto ou do quociente.
f(x)=\frac{x^{3}}{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=\frac{x^{3}}{1 - x^{2}}
usando a regra do quociente. Vamos aplicar a fórmula
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{u(x)}{v(x)}\Bigr) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.

Passo 2

Identificamos as partes do quociente:
u(x)=x^{3}, \quad v(x)=1 - x^{2}.
Então calculamos as derivadas de cada uma:
u'(x)=3x^{2}, \quad v'(x)=-2x.

Passo 3

Substituímos na regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{3x^{2}(1 - x^{2}) - x^{3}(-2x)}{(1 - x^{2})^{2}}.

Passo 4

Fazendo a expansão e simplificação no numerador:
3x^{2}(1 - x^{2}) - x^{3}(-2x) =3x^{2} - 3x^{4} + 2x^{4} =3x^{2} - x^{4} =x^{2}(3 - x^{2}).
Portanto,
f'(x) =\frac{x^{2}(3 - x^{2})}{(1 - x^{2})^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x^{2}(3 - x^{2})}{(1 - x^{2})^{2}}.

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