Resolva as EDOs:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+4=\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + y' + 4 = \sin x.
Este é um caso de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo em y ausente. Para resolver, vamos construir a solução geral como
y(x) = y_{\text{h}}(x) + y_{\text{p}}(x),
onde y_{\text{h}} é a solução da equação homogênea associada e y_{\text{p}} é uma solução particular da equação completa.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + y' = 0.
Montamos a equação característica
r^2 + r = 0
cuja solução é r(r+1)=0, logo r=0 e r=-1. Portanto
y_{\text{h}}(x) = C_{1} + C_{2}\,e^{-x}.

Passo 3

Buscamos uma solução particular y_{1}\) para o termo \(\sin x\). Suponha \[y_{1}(x) = A\sin x + B\cos x.
Então
y_{1}' = A\cos x - B\sin x, \quad y_{1}'' = -A\sin x - B\cos x,
e
y_{1}'' + y_{1}' = (-A\sin x - B\cos x)+(A\cos x - B\sin x) = (-A - B)\,\sin x \;+\;(A - B)\,\cos x.
Queremos isso igual a \sin x, ou seja
\begin{cases} -A - B = 1,\\\ A - B = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem A=B\]. Substituindo na primeira, \(-2A=1, então A=B=-\tfrac12. Assim
y_{1}(x) = -\tfrac12\bigl(\sin x + \cos x\bigr).

Passo 4

Agora achamos uma solução particular y_{2} para o termo constante -4. Como o lado direito é -4, tentamos
y_{2}(x) = ax + b.
Dessa forma
y_{2}' = a, \quad y_{2}'' = 0,
e
y_{2}'' + y_{2}' = 0 + a = a.
Para isso ser igual a -4 precisamos de a=-4. O termo b gera funções constantes, já contidas em y_{\text{h}}, então podemos tomar b=0. Logo
y_{2}(x) = -4x.

Passo 5

A solução particular completa é
y_{\text{p}}(x) = y_{1}(x) + y_{2}(x) = -4x \;-\;\tfrac12\bigl(\sin x + \cos x\bigr).
Portanto a solução geral da EDO é
y(x) = y_{\text{h}}(x) + y_{\text{p}}(x) = C_{1} + C_{2}\,e^{-x} \;-\;4x \;-\;\tfrac12\bigl(\sin x + \cos x\bigr).

Resposta

y(x) = C_{1} + C_{2}\,e^{-x} \;-\;4x \;-\;\tfrac12\bigl(\sin x + \cos x\bigr).

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