Derive as funções abaixo para praticar a regra do produto ou do quociente.
f(x)=\sqrt{x} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\sqrt{x}\,e^{x}
Aqui vamos usar a regra do produto, pois f(x) é o produto de duas funções:
u(x)=\sqrt{x} \quad\text{e}\quad v(x)=e^{x}.

Passo 2

Calculamos separadamente as derivadas de cada fator:
A derivada de u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} é
u'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
A derivada de v(x)=e^{x} é
v'(x)=e^{x}.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto, que diz
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u(x), u'(x), v(x) e v'(x), obtém-se
f'(x) =\frac{1}{2\sqrt{x}}\,e^{x}+\sqrt{x}\,e^{x}.

Passo 4

Para simplificar, fatoramos e^{x} em evidência:
f'(x) =e^{x}\Bigl(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\Bigr).
Colocando no mesmo denominador 2\sqrt{x}:
\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x} =\frac{1+2x}{2\sqrt{x}}.
Logo
f'(x) =e^{x}\,\frac{1+2x}{2\sqrt{x}}.

Resposta

f'(x)=\frac{e^{x}(2x+1)}{2\sqrt{x}}.

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