Derive as funções abaixo para praticar a regra do produto ou do quociente.
f(x)=\frac{1-x e^{x}}{x+e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1 - x e^{x}}{x + e^{x}}.
O conteúdo é a regra do quociente: se u(x) e v(x) são diferenciáveis,
\biggl(\frac{u}{v}\biggr)'=\frac{u'v - u\,v'}{v^{2}}.

Passo 2

Definimos
u(x)=1 - x e^{x},
que é a diferença entre 1 e o produto x\cdot e^{x}. Usando a regra do produto em x e^{x}, temos
u'(x)=0 - \bigl(e^{x} + x e^{x}\bigr)=-e^{x}-x e^{x}.

Passo 3

Definimos
v(x)=x + e^{x},
cuja derivada é a soma das derivadas de x e de e^{x}:
v'(x)=1 + e^{x}.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{(-e^{x}-x e^{x})(x+e^{x}) \;-\;(1 - x e^{x})(1+e^{x})}{(x+e^{x})^{2}}.

Passo 5

Expandimos os dois produtos no numerador:
(-e^{x}-x e^{x})(x+e^{x}) =-x e^{x}-e^{2x}-x^{2}e^{x}-x e^{2x},
(1 - x e^{x})(1+e^{x}) =1+e^{x}-x e^{x}-x e^{2x}.
Subtraindo-os, obtemos
u'v - u\,v' =-x e^{x}-e^{2x}-x^{2}e^{x}-x e^{2x} -\bigl(1+e^{x}-x e^{x}-x e^{2x}\bigr) =-(1+e^{x}+x^{2}e^{x}+e^{2x}).

Passo 6

Portanto, a derivada fica
f'(x) =-\frac{1+e^{x}+x^{2}e^{x}+e^{2x}}{(x+e^{x})^{2}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1+e^{x}+x^{2}e^{x}+e^{2x}}{(x+e^{x})^{2}}.

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