Encontre as derivadas por derivação implícita.
1+x=\sin \left(x y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
1 + x = \sin\bigl(x\,y^2\bigr)
e pede \displaystyle \frac{dy}{dx}.
Para isso vamos usar derivação implícita, aplicando a regra da cadeia na função \sin e a regra do produto em x\,y^2.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
O lado esquerdo é
\frac{d}{dx}(1 + x) = 0 + 1 = 1.
O lado direito é
\frac{d}{dx}\Bigl[\sin(x\,y^2)\Bigr] = \cos\bigl(x\,y^2\bigr)\;\frac{d}{dx}\bigl(x\,y^2\bigr).
Agora, em \frac{d}{dx}(x\,y^2) aplicamos a regra do produto com u=x e v=y^2:
\frac{d}{dx}(x\,y^2) = \underbrace{\frac{d}{dx}(x)}_{=1}\,y^2 \;+\; x\,\underbrace{\frac{d}{dx}(y^2)}_{=2y\,y'} = y^2 + 2x\,y\,y'.
Logo a derivada do lado direito fica
\cos\bigl(x\,y^2\bigr)\,\bigl(y^2 + 2x\,y\,y'\bigr).
Portanto a igualdade das derivadas é
1 = \cos\bigl(x\,y^2\bigr)\,\bigl(y^2 + 2x\,y\,y'\bigr).

Passo 3

Agora isolamos y'. Primeiro expandimos:
1 = y^2\cos\bigl(x\,y^2\bigr) \;+\; 2x\,y\,\cos\bigl(x\,y^2\bigr)\,y'.
Passamos o termo sem y' para o lado esquerdo:
1 - y^2\cos\bigl(x\,y^2\bigr) = 2x\,y\,\cos\bigl(x\,y^2\bigr)\,y'.
Finalmente dividimos por 2x\,y\,\cos(x\,y^2):
y' = \frac{1 - y^2\cos\bigl(x\,y^2\bigr)}{2x\,y\,\cos\bigl(x\,y^2\bigr)}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{1 - y^2\cos\bigl(x\,y^2\bigr)}{2x\,y\,\cos\bigl(x\,y^2\bigr)}.

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