Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=\frac{3 x-1}{1-x} no ponto em que \mathrm{x}=-1.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto em que x=-1. As informações dadas são:
  • A função é f(x)=\dfrac{3x-1}{1-x}.
  • O ponto onde queremos a tangente tem abscissa x=-1.
    Portanto precisamos:
  • calcular a ordenada do ponto, isto é f(-1);
  • calcular a derivada f'(x) e avaliar em x=-1 para obter o declive (coeficiente angular) da reta tangente;
  • usar a forma ponto-de-reta (ponto-declive) para escrever a equação da reta.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): a reta tangente ao gráfico de uma função num ponto x=a tem coeficiente angular igual à derivada da função naquele ponto, f'(a). A forma ponto-declive da reta com ponto (a,f(a)) e declive m é
y - f(a) = m\bigl(x - a\bigr).
Aqui a=-1 e m=f'(-1). Então precisamos saber o que é f'(-1). Para encontrar f'(x) usamos a regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq0, então
f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2},
onde u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v. Vou aplicar isso com u(x)=3x-1 e v(x)=1-x.

Passo 3

Identificando u e v e suas derivadas:
  • u(x)=3x-1 então u'(x)=3.
  • v(x)=1-x então v'(x)=-1.
    Aplicando a regra do quociente:
f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2} =\dfrac{3(1-x)-(3x-1)(-1)}{(1-x)^2}.
Agora simplifico o numerador: 3(1-x)=3-3x e (3x-1)(-1)=-3x+1, então
3(1-x)-(3x-1)(-1)=3-3x+3x-1=2.
Logo
f'(x)=\dfrac{2}{(1-x)^2}.

Passo 4

Avalio a derivada em x=-1:
1-(-1)=2 \quad\Rightarrow\quad (1-(-1))^2=2^2=4,
portanto
f'(-1)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.
Isso significa que o declive da reta tangente no ponto pedido é m=\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Calculo a ordenada do ponto: f(-1).
f(-1)=\dfrac{3(-1)-1}{1-(-1)}=\dfrac{-3-1}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2.
O ponto do gráfico onde a tangente é pedida é (-1,-2).

Passo 6

Agora uso a forma ponto-declive da reta com a=-1, f(a)=-2 e m=\dfrac{1}{2}:
y-(-2)=\dfrac{1}{2}\bigl(x-(-1)\bigr).
Ou seja,
y+2=\dfrac{1}{2}(x+1).
A partir daqui basta isolar y para obter a equação explícita da reta tangente (a resposta final está na seção de resposta abaixo).

Resposta

y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{2}

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