Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto em que
.
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto em que
. As informações dadas são:
- A função é
. - O ponto onde queremos a tangente tem abscissa
.
Portanto precisamos: - calcular a ordenada do ponto, isto é
; - calcular a derivada
e avaliar em para obter o declive (coeficiente angular) da reta tangente; - usar a forma ponto-de-reta (ponto-declive) para escrever a equação da reta.
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): a reta tangente ao gráfico de uma função num ponto
tem coeficiente angular igual à derivada da função naquele ponto,
. A forma ponto-declive da reta com ponto
e declive
é
Aqui
e
. Então precisamos saber o que é
. Para encontrar
usamos a regra do quociente: se
com
e
diferenciáveis e
, então
onde
e
são as derivadas de
e
. Vou aplicar isso com
e
.
Passo 3
Identificando
e
e suas derivadas:
-
então . -
então .
Aplicando a regra do quociente:
Agora simplifico o numerador:
e
, então
Logo
Passo 4
Avalio a derivada em
:
portanto
Isso significa que o declive da reta tangente no ponto pedido é
.
Passo 5
Calculo a ordenada do ponto:
.
O ponto do gráfico onde a tangente é pedida é
.
Passo 6
Agora uso a forma ponto-declive da reta com
,
e
:
Ou seja,
A partir daqui basta isolar
para obter a equação explícita da reta tangente (a resposta final está na seção de resposta abaixo).