Sendo y=(1+t) \cdot \sqrt{t}, encontre \frac{d y}{d t}.

Passo 1

O enunciado dá a função \;y=(1+t)\cdot\sqrt{t}\; e pede para encontrar \dfrac{dy}{dt}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é o produto de duas expressões: 1+t e \sqrt{t}.
  • A variável independente é t.
  • A raiz quadrada impõe a consideração do domínio: normalmente \sqrt{t} está definida para t\ge 0 (e a derivada que obtivermos terá bom comportamento para t>0).

Passo 2

Escolha do método: como y é um produto de duas funções de t, o método natural é a Regra do Produto. Vou usar também a Regra da Potência para derivar a raiz.
Lembrete das fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do Produto: se \;y=u(t)\cdot v(t)\; então
(uv)'=u'v+uv'.
Isso significa: derivar um dos fatores e multiplicar pelo outro, somando com o fator não derivado vezes a derivada do outro.
  • Regra da Potência: se \;v(t)=t^{n}\; então
\frac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}.
Aqui a variável t é a base e n é o expoente; aplicando isso com n=\tfrac{1}{2} obtemos a derivada da raiz.

Passo 3

Reescrevo a função usando potência para facilitar aplicar a Regra da Potência:
y=(1+t)\cdot\sqrt{t}=(1+t)\cdot t^{1/2}.
Agora identifico os fatores para aplicar a Regra do Produto:
u(t)=1+t,\qquad v(t)=t^{1/2}.

Passo 4

Calculo as derivadas dos fatores separadamente, usando regras básicas:
  • Para u(t)=1+t: a derivada é
u'(t)=\frac{d}{dt}(1+t)=1,
porque a derivada de 1 é 0 e a derivada de t é 1.
  • Para v(t)=t^{1/2}: aplico a Regra da Potência com n=\tfrac{1}{2}:
v'(t)=\frac{d}{dt}t^{1/2}=\tfrac{1}{2}\,t^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{t}}.
Aqui escrevi t^{-1/2} e também em forma com raiz para ficar claro.

Passo 5

Agora aplico a Regra do Produto (uv)'=u'v+uv':
\frac{dy}{dt}=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Substituindo u,u',v,v' obtidos:
\frac{dy}{dt}=1\cdot t^{1/2}+(1+t)\cdot\frac{1}{2}t^{-1/2}.

Passo 6

Faço a simplificação algébrica passo a passo para uma forma mais limpa:
\frac{dy}{dt}=t^{1/2}+\frac{1}{2}(1+t)t^{-1/2}.
Coloco tudo sobre o mesmo denominador em termos de \sqrt{t}. Note que t^{1/2}=\dfrac{2t}{2\sqrt{t}} porque \dfrac{2t}{2\sqrt{t}}=\dfrac{t}{\sqrt{t}}=\sqrt{t}. Assim,
\frac{dy}{dt}=\frac{2t}{2\sqrt{t}}+\frac{1+t}{2\sqrt{t}}=\frac{2t+1+t}{2\sqrt{t}}=\frac{3t+1}{2\sqrt{t}}.

Passo 7

Comentário sobre domínio e validade: a expressão final \dfrac{3t+1}{2\sqrt{t}} foi obtida assumindo t>0 (porque usamos t^{-1/2}); em t=0 a derivada não é finita. Portanto a derivada vale para t>0.

Resposta

\dfrac{3t+1}{2\sqrt{t}}

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