Sendo
, encontre
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é o produto de duas expressões:
e . - A variável independente é
. - A raiz quadrada impõe a consideração do domínio: normalmente
está definida para (e a derivada que obtivermos terá bom comportamento para ).
Passo 2
Escolha do método: como
é um produto de duas funções de
, o método natural é a Regra do Produto. Vou usar também a Regra da Potência para derivar a raiz.
Lembrete das fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra do Produto: se
então
Isso significa: derivar um dos fatores e multiplicar pelo outro, somando com o fator não derivado vezes a derivada do outro.
- Regra da Potência: se
então
Aqui a variável
é a base e
é o expoente; aplicando isso com
obtemos a derivada da raiz.
Passo 3
Reescrevo a função usando potência para facilitar aplicar a Regra da Potência:
Agora identifico os fatores para aplicar a Regra do Produto:
Passo 4
Calculo as derivadas dos fatores separadamente, usando regras básicas:
- Para
: a derivada é
porque a derivada de
é
e a derivada de
é
.
- Para
: aplico a Regra da Potência com :
Aqui escrevi
e também em forma com raiz para ficar claro.
Passo 5
Agora aplico a Regra do Produto
:
Substituindo
obtidos:
Passo 6
Faço a simplificação algébrica passo a passo para uma forma mais limpa:
Coloco tudo sobre o mesmo denominador em termos de
. Note que
porque
. Assim,
Passo 7
Comentário sobre domínio e validade: a expressão final
foi obtida assumindo
(porque usamos
); em
a derivada não é finita. Portanto a derivada vale para
.