Derive as funções abaixo:
u) y=\frac{x^{2} \operatorname{sen} x}{e^{x}}$;

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = x^2,sen xe^x
O conteúdo envolvido é a regra do quociente (ou, alternativamente, produto com exponencial negativa), além da regra do produto e da derivada de seno e exponencial.

Passo 2

Definimos
u(x) = x^2,sen x e v(x) = e^x,
de modo que y = u(x)v(x). Vamos aplicar a regra do quociente.

Passo 3

Calculamos u'(x) e v'(x). Para u(x) usamos regra do produto entre x^2 e sen x:
u'(x) = (x^2)',sen x + x^2,(sen x)' = 2x,sen x + x^2,cos x
E, para v(x),
v'(x) = e^x

Passo 4

Pela regra do quociente,
y' = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)l(v(x)r)^2
Substituindo u, u', v e v':
y' = l(2x,sen x + x^2,cos xr)e^x ;-; x^2,sen x ;e^xl(e^xr)^2

Passo 5

Fatorando e^x no numerador e usando l(e^xr)^2=e^2x, obtemos
y' = e^xl(2x,sen x + x^2,cos x - x^2,sen xr)e^2x = 2x,sen x + x^2,cos x - x^2,sen xe^x
Agrupando termos semelhantes:
y' = x^2(cos x - sen x) + 2x,sen xe^x

Resposta

y' = x^2(cos x - sen x) + 2x,sen xe^x

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