Encontre o limite
lim t 0 tg 6 tsen 2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite limt 0 tan 6tsin 2t. Esse exercício envolve conceitos de trigonometria e limites, que são parte importante do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender as definições das funções trigonométricas tan e sin, além de algumas propriedades básicas dos limites quando a variável se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que tan x pode ser escrito como sin xcos x. Então, podemos reescrever o numerador da nossa fração:
tan 6t = sin 6tcos 6t

Passo 3

Substituindo isso no limite, temos:
limt 0 tan 6tsin 2t = limt 0 sin 6tcos 6tsin 2t = limt 0 sin 6tsin 2t cdot cos 6t

Passo 4

Agora, vamos separar a fração em duas partes para facilitar:
sin 6tsin 2t cdot cos 6t = ( sin 6tsin 2t ) cdot ( 1cos 6t )

Passo 5

Vamos analisar cada parte separadamente. Para o primeiro termo sin 6tsin 2t, sabemos que sin x approx x quando x está próximo de 0. Portanto:
sin 6tsin 2t approx 6t2t = 3

Passo 6

Para o segundo termo 1cos 6t, lembramos que cos 0 = 1 e, como t está se aproximando de 0, cos 6t se aproxima de cos 0 = 1. Então:
1cos 6t approx 11 = 1

Passo 7

Multiplicando os dois resultados:
3 cdot 1 = 3

Resposta

O limite é igual a 3.

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