Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de no ponto dado:
\text{©})f(x)=\frac{x-1}{x+2} P(0,1)$;

Passo 1

O enunciado pede as retas tangente e normal ao gráfico de
f(x) = x-1x+2
no ponto (0,1). Para isso precisamos:
  1. Calcular a derivada f'(x) (que dá o coeficiente angular da tangente).
  2. Avaliar f'(0) para obter o coeficiente angular da tangente em x=0.
  3. Usar a fórmula ponto-inclinação para a reta tangente.
  4. Concluir que a reta normal tem coeficiente angular igual ao negativo do inverso da derivada no ponto e usar novamente a fórmula ponto-inclinação.

Passo 2

Usando a regra do quociente, para
f(x)=u(x)v(x)com u(x)=x-1,;v(x)=x+2,
temos
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =1cdot(x+2)-(x-1)cdot1(x+2)^2 =x+2 - x + 1(x+2)^2 =3(x+2)^2

Passo 3

Avaliar a derivada em x=0:
f'(0)=3(0+2)^2=34
Logo o coeficiente angular da reta tangente em (0,1) é mt=tfrac34.

Passo 4

A equação da reta tangente, usando ponto-inclinação y - y0 = mt(x - x0) com (x0,y0)=(0,1), fica
y - 1 = 34(x - 0) Longrightarrow y = 34x + 1

Passo 5

O coeficiente angular da reta normal é o negativo do inverso de mt, ou seja,
mn=-1mt=-13/4=-43
Aplicando ponto-inclinação em (0,1):
y - 1 = -43(x - 0) Longrightarrow y = -43x + 1

Resposta

Reta tangente:
y = 34x + 1
Reta normal:
y = -43x + 1

Exercícios relacionados