Seja F(x)=ccc & & x^2+2 x & se & x<-1 x & se & -1 <= x <= 0 1ln (x) & & (3 x) & se & x>0
(c) Fé derivável em 0? (justifique)

Passo 1

O enunciado define a função
F(x)= x^2+2x, & x<-1, x, & -1<= x<=0, dfrac3xln(x), & x>0
Queremos saber se F é derivável em 0. Para isso, primeiro precisamos checar continuidade em 0 e depois comparar as derivadas laterais esquerda e direita em 0.

Passo 2

Verificamos a continuidade em 0.
Limite pela esquerda ( xto0^-): como para x<=0 vale F(x)=x,
limxto0^-F(x)=limxto0^-x=0
Limite pela direita ( xto0^+):
limxto0^+F(x) =limxto0^+3xln(x) =0-infty=0
E F(0)=0. Logo F é contínua em 0.

Passo 3

Calculamos a derivada lateral esquerda em 0. Para x<0 temos F(x)=x, cuja derivada é 1. Então
F'-(0)=1

Passo 4

Calculamos a derivada lateral direita em 0. Para x>0,
F(x)=3xln(x),
então
F'+(0) =limhto0^+F(h)-F(0)h =limhto0^+tfrac3hln(h)-0h =limhto0^+3ln(h) =0,
pois ln(h)to-infty.

Passo 5

Como
F'-(0)=1 e F'+(0)=0,
as derivadas laterais não coincidem. Portanto F não é derivável em 0.

Resposta

F não é derivável em 0.

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