Questão 4) Calcule as integrais abaixo usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de substituição.
integral0^1(3+x raizx) d x

Passo 1

Vamos lá! Temos que calcular a integral definida integral0^1 (3 + x raizx) , dx usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de substituição. Isso envolve conceitos de cálculo integral, como encontrar antiderivadas e aplicar limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que raizx é igual a x^1/2. Então, x raizx vira x cdot x^1/2 = x^3/2. Assim, a integral fica:
integral0^1 (3 + x^3/2) , dx

Passo 3

Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral0^1 3 , dx + integral0^1 x^3/2 , dx

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral, integral0^1 3 , dx. A integral de uma constante é a constante multiplicada por x:
integral 3 , dx = 3x + C
Como é uma integral definida, avaliamos de 0 a 1:
3(1) - 3(0) = 3

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral, integral0^1 x^3/2 , dx. Para integrar x^3/2, usamos a regra de potência, que diz:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
Aplicando n = 32:
integral x^3/2 , dx = x^5/25/2 + C = 25x^5/2 + C
Agora, avaliamos de 0 a 1:
25(1)^5/2 - 25(0)^5/2 = 25 - 0 = 25

Passo 6

Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:
3 + 25 = 155 + 25 = 175

Resposta

175

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